The decomposition of classical semisimple lie algebras

Abstract

Özet: Lie cebiri; Lie parantezi olarak adlandırdığımız ikili işlemle birlikte Jacobi eşitliğini sağlayan bir vektör uzayıdır. İlk bölümde genel doğrusal Lie cebiri ve özel doğrusal Lie cebirlerini, onların alt cebirlerini ve ideallerini ele alıyoruz.Sonra tanım ve örneklerle Lie cebirlerinin yapısını anlamaya çalışıyoruz.Devamında nilpotent ve çözülebilir Lie cebirlerinin yapısını örneklerle açıklıyoruz. İlk bölümün sonunda, basit ve yarı-basit Lie cebirlerinin tanımlarını görüyoruz. İkinci bölümde, Lie cebiri kavramının Sophus Lie tarafından ortaya atıldığını ve geliştirildiğini söyleyerek, Sophus Lie hakkında kısa bilgilere yer veriyoruzÜçüncü bölümde, daha önce ğördüğümüz nilpotent ve çözülebilir Lie cebirlerinin özelliklerini kullanarak Lie ve Engel teoremlerini veriyoruz.Bir sonraki bölümde, verilen bir Lie cebiri için adjoint temsili yazıp, onun Lie parantezi ile ilişkisini inceliyoruz ve bu temsilden faydalanarak Killing form kavramını açıklıyoruz. İlerleyen bölümlerde, verilen bir Lie cebiri için Cartan alt cebiri ve kökler bulup, Lie cebirleri için kök sistemleri oluşturuyoruz.Özetle, bu çalışmada, yukarıda bahsedilen bölümler arasında ilişki kurmayı amaçlayarak, klasik yarı-basit Lie cebirlerinin kök sistem ayrışmasını inceliyoruz.Anahtar Sözcükler : Lie cebiri, Lie'nin parantezi, nilpotent ve çözülebilir Lie cebirleri,

Abstract: A Lie algebra is a vector space over a field (R or C) with a given bilinear operation satisfying the Jacobi identity and its operation is called the Lie bracket. In chapter 1, we observe the structure of the Lie algebras of general Lie algbera and special linear Lie algbera, we work on their subalgebras, ideals.After, we explain the nilpotent and solvable Lie algebras using the lower and derived series with examples, non-examples. The end of the chapter 1 we give the definition of the simple and semisimple Lie algebras. In chapter two, we are talking about Sophus Lie, a Norwegian mathematician who lived in the the later of the 19th century. In chapter three, we give the threorems of Lie and Engel using the notions of the nilpotent and solvable Lie algebras which is given in chapter 1. In the next chapter, we observe the properties of the adjoint representation for a given Lie algebra and we look at its relation with the Lie bracket.In summary, in this dissertation, we examine the root system decomposition of classical semi-simple Lie algebras with the aim of establishing a relation between the above-mentioned chapters. Furthermore, I calculated explicitly the roots and root vectors of the semisimple Lie algebrasKey words : Lie algebra, Lie bracket, nilpotent and solvable Lie algebras.