Numerical computation of integrals in higher dimensions

Abstract

üOZü Ë Ë ü ËYUKSEK BOYUTLU INTEGRALLERIN NUMERIK HESAPLANMASIBaydar, Hakanba f (x)dx şeklindeki belirli integralin nümerik olarak yaklaştırılması işin herhangis u s cbir method kullanılmasına tümlev alma denir. Amaş en az fonksiyon değerlendirimiu c gile verilen duyarlılık seviyesinde sonuş elde etmektir.cNümerik bir integral probleminin zorluğunu kontrol eden faktürler integralin boyutuu g ove fonksiyonun pürüzsüzlüğudür.u u u ug ü uHer tümlev alma methodu, integrali alınan f foksiyonunu sınırlı sayıda noktadau(absis veya tümlev alınan nokta) hesaplamaya dayanır, daha sonra bu değerler biru gyaklaştırım elde etmede kullanılır. Genelde bu ağırlıklı ortalama almayı gerektirir.s gHedef hangi noktalarda fonksiyonun hesaplanacağı ve hangi ağırlıkların kullanıla-g gcağıdır, üyle ki integrali alınan fonsiyonlarda en geniş sınıfta maksimum performansg o selde edilsin.Bu araştırmada integrallerin nümerik yaklaştırılmasında kullanılan Monte Carlos u sve Newton-Cotes metodları güzden geşirilmiştir ve MATLAB ile yazılmış 7. dereceyeo c s skadar integralleri herhangi bir bülgede hesaplayabilen yeni programlar işermektedir.o cBu şalışmada amaş metodları karşılaştırmak ve kendi yazdığımız kod ile bazıcs c ss gyaklaştırım sonuşlarını vermektedir.s c

ABSTRACTNUMERICAL COMPUTATION OF INTEGRALS IN HIGHER DIMENSIONSBaydar, HakanQuadrature refers to any method for numerically approximating the value of deï¬-bnite integral a f (x)dx. The goal is to attain a given level of precision with the fewestfunction evaluations.The factors that control the diï¬culty of a numerical integration problem are thedimension of the integral and the smoothness of the integrand f .Any quadrature method relies on evaluating the integrand f on a ï¬nite set of points(called the abscissas or quadrature points), and after processing these evaluations toproduce an approximation to the integral. Usually this involves taking a weightedaverage.The goal is to determine which points to evaluate and what weight to use so as tomaximize performance over a broad class of integrands.This study reviews Monte Carlo and Newton-Cotes methods of numerical approx-imation of integrals on both rectangular and nonrectangular regions and containsnew routines that can evaluate integrals up to 7 dimensions over arbitrary regions inMATLAB.The work aims to compare the methods and give some approximation results usingour self-written code.