Freud polinomlarına dayalı matris metodu ile diferansiyel denklemleri çözümleri üzerine

Abstract

Bu çalışmada, birinci ve ikinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemlerden başlamak üzere birinci ve ikinci mertebeden Pantograf diferansiyel denklemlere kadar önemli bir diferansiyel denklem sınıfının tam veya yaklaşık çözümlerini bulmak için önerdiğimiz Freud Polinomlarına dayalı matris sıralama yöntemi verilmiştir. Analitik çözüm için yaklaşım fonksiyonu, tabanı Freud polinomları ve katsayıları da bilinmeyen değerler olarak alınmış kestirilmiş bir seri olup, diferansiyel denklemdeki her bir terimin matris formunda yazılmasıyla elde edilen matris denkleminde kolokasyon noktalarının yerine yazılmasıyla cebirsel denklem sistemine ulaşılır. Denklem ile verilen şartların hesaba katılmasıyla birlikte elde edilen sistem çözülerek, yaklaşım fonksiyonunu oluşturan serinin terimlerindeki Freud polinomlarının katsayıları bulunur. Önerilen çözüm yöntemi ayrıntılı bir şekilde verildikten sonra, bu teorinin yukarıda bahsedilen denklemleri etkili ve verimli bir şekilde çözmek için uygunluğunu göstermek için çeşitli örnekler verilmiştir. Tez düzeninde, ilk olarak bu tez boyunca dikkate alacağımız diferansiyel denklem tipleri ve genel kullanım alanlarından ve bu denklemlerin çözümü için kullanılan bazı çözüm tekniklerinden bahsedilmiştir. Daha sonra gelen ikinci bölümde ise, Freud Polinomlarını ortaya çıkaran Macar matematikçi Gaze Freud'dan, yaptığı çalışmalardan ve Freud polinomlarının genel yapısından söz edilmiştir. Üçüncü bölümde, birinci ve ikinci mertebeden değişken katsayılı doğrusal genelleştirilmiş pantograf diferansiyel denklemlerden, bu denklemler için ilk defa önerdiğimiz Freud Matris sıralama yönteminden ve çözüm yönteminden bahsedilmiştir. Son olarak verilen çeşitli örnekler bu metot ile çözülmüş ve elde edilen sonuçlar tablo ve grafik yardımıyla da detaylı bir şekilde aktarılmıştır.

In this study, a matrix collocation method based on Freud Polynomials, which we propose to find the exact or approximate solutions of an important class of differential equations, starting from first and second order linear differential equations, to first and second order Pantograph differential equations, is given. The approximation function for the analytical solution is an estimated series with the base as Freud polynomials and the coefficients as unknown values. The algebraic equation system is reached by substituting the colocation points in the matrix equation obtained by writing each term in the differential equation in matrix form. By solving the system obtained by taking into account the conditions given by the equation, the coefficients of the Freud polynomials in the terms of the series forming the approximation function are found. After the proposed solution method is given in detail, various examples are given to show that this theory is suitable for solving the above-mentioned equations effectively and efficiently. In the layout of the thesis, first, the types of differential equations that we will consider throughout this thesis and their general usage areas and some solution techniques used for the solution of these equations are mentioned. In the second part, Hungarian mathematician Gaze Freud, who revealed Freud Polynomials, his studies and the general structure of Freud polynomials are given. In the third chapter, linear generalized pantograph differential equations with first and second order variable coefficients, the Freud matrix collocation method, which we proposed, for the first time, for these equations, are mentioned. Finally, various examples given were solved with this method and the results obtained were explained in detail with the help of tables and graphics.