The ABC conjecture and its consequences

Abstract

abc-sanısı, polinomlar için olan Mason-Stothers teoreminin J. Oesterle ve D. Masser tarafından tamsayılar için önerilen sayılar kuramında bir sanıdır. Bu sanı tamsayılardaki çarpma ve toplama işlemleri arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu sanının daha güçlü versiyonları, Fermat'ın Son Teoremi de dahil olmak üzere birçok önemli problemin çözümlerini vermektedir. S. Mochizuki, kendisinin geliştirmiş olduğu Inter-universal Teichmüller teorisini kullanarak cebirsel sayı cisimleri üzerinde tanımlı efektif olmayan Vojta, Szpiro ve abc-sanılarının ispatlarını elde etmiştir. I. Fesenko, Y. Hoshi, A. Minamide ,S. Mochizuki ve W. Porowski yakın geçmişte, Q üzerinde veya sanal ikinci dereceden sayı cisimleri üzerinde tanımlı abc-sanısı ve Szpiro sanısının efektif versiyonlarını kanıtlamışlardır. Bu tezde, yukarıdaki gelişmelerayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

The abc-conjecture is an integer analogue of Mason-Stothers theorem for polynomials which was proposed by J. Oesterle and D. Masser in number theory. It expresses a relation between multiplication and addition for integers. Stronger versions of this conjecture yield solutions of many important problems including Fermat's Last Theorem. Using his Inter-universalTeichmüller theory, S. Mochizuki obtained proofs of non-effective Vojta, Szpiro, and abc- conjectures over algebraic number fields. More recently, an effective abc-conjecture over Q or an imaginary quadratic number fields and the Szpiro conjecture have been proved by I. Fesenko, Y. Hoshi, A. Minamide ,S. Mochizuki and W. Porowski. In this thesis, the abovedevelopments are discussed in some detail.