Kesirli Q fark denklemlerin pozitif çözümlerinin varlığı üzerine

Abstract

Bu tez çalışmasında q-fark operatörü içeren sınır değer problemlerinin pozitif çözümlerinin varlığı üzerine koşulların incelenmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda öncelikle konunun tarihsel gelişimi anlatılmış, q-fark türev ve integral kavramlarının daha iyi anlaşılması için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Giriş bölümü dışında üç ana bölümden oluşan tezin bu bölümlerinde farklı yapıda sınır değer problemleri ele alınmıştır.Üçüncü bölümde, Riemann-Liouville tipindeki kesirli q-türeve sahip integral sınır koşullu bir kesirli q-fark sınır değer problemi ele alınarak bu problemin çözümlerinin varlığı sabit nokta teoremleri ve alt-üst çözüm tekliği kullanılarak incelenmiştir.Dördüncü bölümde, yarı açık aralıkta tanımlı bir kesirli q-fark sınır değer problemi ele alınarak, öncelikle problemin Green fonksiyonu bulunarak bu fonksiyonun özellikleri incelenmiş ve ardından en az bir pozitif çözümün varlığı Schauder sabit nokta teoreminin bir sonucu olarak sunulmuştur.Beşinci ve son bölümde, önce integral sınır koşullu bir problem incelenmiş ve bu problemin sonuçları ışığında p-laplasyen operatörlü farklı bir problem daha ele alınarak çözümlerinin varlığı üzerine sonuçlar elde edilmiştir.

In this thesis, it is aimed to examine the conditions on the existence of positive solutions of boundary value problems involving the q-difference operator. For this purpose, first of all, the historical development of the subject is explained, and the necessary definitions and theorems are given for a better understanding of the concepts of q-difference derivative and integral.In these parts of the thesis, which consists of three main parts, apart from the introduction part, boundary value problems with different structures are discussed.In the third chapter, a fractional q-difference boundary value problem with integral boundary condition with fractional q-derivative of Riemann-Liouville type is handled and the existence of solutions of this problem is investigated using fixed point theorems and lower-upper solution uniqueness.In the fourth chapter, a fractional q-difference boundary value problem defined in a semi-open interval is handled, first the Green's function of the problem is found, the properties of this function are examined, and then the existence of at least one positive solution is presented as a result of the Schauder fixed point theorem.In the fifth and at the same time in the last chapter, firstly, a problem with integral boundary condition is examined and in the light of the results of this problem, another problem with p-laplacian operator is handled and results on the existence of its solutions are obtained.