Euler polinomlarının matris özellikleri ve fonksiyonel integro-diferansiyel denklemlere uygulamaları

Abstract

Diferansiyel, integral ve integro-diferansiyel denklemlerin birçok uygulamalı matematiksel bilimde önemli rol oynadıkları bilinmektedir. Bu bilimlerden bazıları; kuantum mekaniği, elektrodinamik, elektronik sistemler, kontrol problemleri, olasılık, sayılar teorisi, mekanik, astronomi, biyoloji, ekonomi, elektrostatik ve endüstridir. Bu tip denklemlerin analitik çözümlerini elde etmek zor olduğu için sayısal yöntemlere gerek duyulmaktadır. Bu tez çalışmasında, fonksiyonel integro-diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için, standart sıralama noktaları ile beraber diferansiyel ve integrasyonun işlemsel matrislerine dayalı bir matris yöntemi sunulmuştur. Bu amaç için, Euler polinomlarının matris formları hesaplanıp kullanılarak, fonksiyonel integro-diferansiyel denklem, uygun sayısal yöntemlerle çözülebilen, bilinmeyen Euler katsayılı iki farklı lineer cebirsel denklemler sistemine indirgenmiştir. Böylece problemin yaklaşık çözümünün, `Matris-Sıralama Yöntemi` kullanılarak, Euler polinomları cinsinden elde edilmesi hedeflenmiştir.Ayrıca sunulan yöntemin tutarlılığı, her bir problem tipine ait sayısal örneklerin yaklaşık çözümlerinin rezidüel (kalan) fonksiyona dayalı hata analizi yapılıp, grafik ve tablolarla gösterilmiştir.Tezin ilk bölümünde; diferansiyel, integral ve integro-diferansiyel denklemlerin ortaya çıkışları ve literatürde bu denklemlerin çözümleri için ortaya atılan çözüm yöntemleri hakkında kısa bilgi verilmiştir. İkinci ve üçüncü bölümde; Euler polinomlarını tanıtılarak, temel matris bağıntıları kurulmuştur. Dördüncü bölümde; hata analizi için rezidüel fonksiyon tanımlanıp, hatanın yakınsaklığı gösterilmeye çalışılmıştır.Tezin beşinci bölümünde; lineer (doğrusal) integro-diferansiyel denklem tiplerinden olan; Fredholm, Volterra, Volterra-Fredholm, gecikmeli, değişken gecikmeli ve denklem sistemlerinin çözümleri Euler matris yöntemiyle verilip, çeşitli örneklerle önerilen çözümün verimliliği ve uygulanabilirliği gösterilmiştir. Altıncı bölümde ise; lineer olmayan integro-diferansiyel denklemlerin çözümü, lineer integro-diferansiyel denklemlerdeki sınıflandırmalar yapılarak verilmiş ve örneklerle desteklenmiştir. Tezin son bölümünde, elde edilen tüm sonuçlar ele alınmış ve yöntemin geçerliliği ve uygulanabilirliği gösterilmiştir.

It is known that differential, integral and integro-differential equations play an important role in many applied mathematical sciences. Some of these sciences are; quantum mechanics, electrodynamics, electronic systems, control problems, probability, number theory, mechanics, astronomy, biology, economics, electrostatics and industry. Due to the difficulty obtaining analytical solutions of such equations, numerical methods are crucial. In this thesis, a matrix method, based on operational matrices of differential and integration with standard collocation points, is presented to find approximate solutions of functional integro-differential equations. For this purpose, by calculating and using the matrix forms of Euler polynomials, the functional integro-differential equation is reduced to two different systems of linear algebraic equations with unknown Euler coefficients, which can be solved by suitable numerical methods. Thus, it is aimed to obtain the approximate solution of the problem in terms of Euler polynomials by using the `Matrix-Collocation Method`.In addition, the consistency of the presented method is shown in graphs and tables by performing an error analysis based on the residual function of the approximate solutions of numerical examples of each problem type. In the first part of the thesis, a brief information is given about the emergence of differential, integral and integro-differential equations and the solution methods put forward for the solutions of these equations in the literature. In the second and third sections, by Euler polynomials are introduced and basic matrix relations are established. In the fourth chapter; the residual function was defined and the convergence of the error was tried to be shown for the error analysis.In the fifth chapter, the solutions of different types of linear integro-differential equations, namely Fredholm, Volterra, Volterra-Fredholm, delayed, variable delay and their systems are given by using the Euler matrix method. The efficiency and applicability of the proposed solutions are shown with various examples. In the sixth section; the solution of nonlinear integro-differential equations is given by making classifications in linear integro-differential equations and supported with examples.In the last chapter of the thesis, all the results obtained are discussed and the validity and applicability of the method are shown.