The geometric representations of rank-metric codes

Abstract

Bu tezde, rank-metrik kodların geometrik gösterimleri, cebirsel kodlama teorisi ve karmaşıklık teorisi ile olan ilişkileriyle beraber incelenmiştir. Bir vektör kodu verildiğinde, buna karşılık gelen rank-metrik kodunu bulmak için izdüşümsel geometride iyi bilinen cisim azaltma fonksiyonunu kullanan bir algoritma sunulmuştur. Bu ilişkiden yola çıkarak, Singleton sınırının analogunu sağlayan maksimum rank uzaklığı(MRD) kodlarının toplamsal olmaları durumunda yarı cisimler ile aralarında birebir eşleme olduğu gösterilmiştir. Bir yarı cisim verildiğinde, ona karşılık gelen tensör elde edilir. Çeşitli nesnelerin tensör rankları analiz edilip, karmaşıklık teorisi ile olan ilişkileri detaylı bir şekilde incelenmiştir. 1977'de Kruskal tensör rank için bir alt sınır sunmuş ve bu sınırı sağlayan kodlara minimal tensör rank(MTR) kodlar denilmiştir. MTR kodların varoluşu üzerine şimdiye kadar incelenen durumlar ele alınarak bir açık soru sunulmuştur. Bu açık sorunun çözümü olduğu gösterilmiş ve tüm olası çözümlerin sınıflandırılması için Yılan ve Merdivenler algoritmasını kullanarak, soruya bilgisayar cebir sistemi GAP yardımıyla hücum önerisinde bulunulmuştur.

In this thesis, geometric representations of rank-metric codes have been examined as well as their connection with algebraic coding theory and complexity theory. Given a vector code, we introduced an algorithm using the well-known field reduction map from projective geometry to get the corresponding rank-metric code. Following that correspondence, we revisited the codes that satisfy the analogues of the Singleton bound, called maximum rank distance(MRD) codes, and show that there is a one-to-one correspondence to finite semifields if they are additive. Given a semifield, we get a tensor associated to it. Tensor rank of various objects have been analyzed and its relation with complexity theory is explained in detail. In 1977, Kruskal proposed a lower bound on tensor rank and the codes that satisfy this bound are called minimal tensor rank(MTR) codes. We state an open problem on the existence of MTR codes deducing from the analyzed cases so far. We have solved the existence problem and proposed an attack on the characterization of all possible solutions using the algorithm Snakes and Ladders with the help of the computer algebra system GAP.