Mathematical and statistical analysis of excitement score in penalty shootouts

Abstract

Spor müsabakaları sırasında duyulabilecek heyecanın nicel ölçümü çok fazla ince- lenmemiş bir araştırma alanıdır. Bu tezin amacı penaltı atışlarının beklenen heye- can skorunu matematiksel olarak bulmaktır. Heyecan skoru formülleri, her penaltı atışından sonra takımların kazanma olasılıklarındaki değişime göre oluşturulmuştur. Oyuncuların penaltı atma olasılığının bilinmediği durumlarda, her penaltının başarı olasılığı bir beta dağılımından gelmektedir. Beklenti-Maksimizasyonu algoritması bu beta dağılımının parametrelerini tahmin etme amaçlı kullanılmıştır.Penaltı atışlarını izleyiciler için nelerin heyecanlı kıldığını anlayabilmek için bir anket tasarlanmış ve her soruda katılımcılardan iki penaltı atışı senaryosu arasından izle- meyi tercih edecekleri senaryoyu, senaryo özelliklerini de dikkate alarak seçmeleri istenmiştir. İzleyicilerin senaryo tercihlerini sıralamak için Bradley-Terry modeli kullanılmıştır. Bu sıralama, heyecan skorları kullanılarak elde edilen sıralama ile karşılaştırma yapmak için kullanılmıştır. Tahmine dayalı modeller, Lojistik Re- gresyon, Rassal Orman, AdaBoost sınıflandırıcı ve XGBoost gibi makine öğrenimi algoritmaları kullanılarak oluşturulmuştur. Artımlı heyecan dikkate alınarak alter- natif heyecan skoru hesaplaması yapılmıştır. Son olarak, gerçekçi bir yaklaşım için takımların penaltı atma olasılıklarının her turda farklılık gösterdiği baz alınarak heyecan skoru hesaplanmıştır. Takımların kazanma olasılıklarını bulmak için ayrık zamanlı Markov zinciri kullanılmıştır. Sonuçlar, heyecan skoru hesaplamalarımızın en az heyecan verici atışları belirlemede başarılı olduğunu gösterdi. Ayrıca izleyiciler tarafından önemli görülen özellikler matematiksel olarak da önemli bulundu.

Quantitative measurement of excitement during sports games is a field of study that has not been explored much. In this thesis, our aim was to find the expected excitement score of penalty shootouts mathematically. The excitement score formu- lations were generated based on the variation in the winning probabilities of teams after each penalty. Probability of success for each penalty originates from a Beta distribution in cases where players' scoring probabilities are unknown. Expectation- Maximization (EM) algorithm was utilized to find the parameter estimations of Beta distribution.A survey was conducted to understand what makes shootouts exciting for the view- ers and participants were asked to choose between two penalty shootout scenarios by examining scenario features at each question. Subsequently, the Bradley-Terry model was used to rank the scenario preferences of the viewers. This ranking was then used to make comparisons with the ranking of the scenarios obtained by using excitement scores. Predictive models were built using machine learning algorithms including Logistic Regression, Random Forest, AdaBoost Classifier and XGBoost to find feature importances. An alternative excitement score calculation was formed by taking the incremental excitement into consideration. Lastly, the excitement score was calculated for cases where scoring probabilities of teams vary at each round for a realistic approach. Discrete-time Markov chain process was used to find winning probabilities of each team. The results demonstrated that our excitement score calculations were successful in determining the least exciting shootouts. Moreover, features deemed as important by the viewers were also crucial mathematically.