Eğrilik ile modifiye edilmiş ortogonal çatıda eğriler

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, tezde kullanılacak olan eğriler ile ilgili bazı temel kavramlar ile bu kavramlarla alakalı teoremlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, eğrilik ile modifiye edilmiş ortogonal çatı tanımlanarak, bu çatının matris formu, çatı elemanlarının vektörel çarpımları elde edilmiştir. Ayrıca bu yeni çatının eğirlik ve torsiyonu tanımlanarak, Serret-Frenet çatı ile eğrilik ile modifiye edilmiş ortogonal çatı arasındaki ilişki incelenerek örnek verilmiştir. Üçüncü bölümde, eğrilik ile modifiye edilmiş ortogonal çatıya göre küresel eğrilerin geometrik yer denklemi elde edilerek; teğet, asli normal ve binormal vektörlerinin katsayıları bulunmuştur. Ayrıca küresel eğrilerin yarıçapları ile ilgili teoremlere yer verilmiştir.Dördüncü bölümde, eğrilik ile modifiye edilmiş ortogonal çatıya göre Bertrand ve Mannheim eğrileri incelenmiş, bu yeni çatıya göre Bertrand ve Mannheim eğrilerinin karakterizasyonları yapılarak örneklendirilmiştir.Son bölümde, eğrilik ile modifiye edilmiş ortogonal çatıya göre helis ve slant helis eğrileri incelenmiştir. Lancret teoremi ve bir eğrinin helis ve slant helis eğrisi olması için gerek ve yeter şartlar teorem olarak ifade ve ispat edilerek örneklendirilmiştir.Anahtar kelimeler: Modifiye edilmiş ortogonal çatı, küresel eğriler, Bertrand eğrisi, Mannheim eğrisi, helis ve slant helis eğrisi, Lancret teoremi.

This thesis consist of five chapters.In the first chapter, some basic concepts about curves to be used in the thesis and theorems related to these concepts are given.In the second chapter, by defining modified orthogonal frame with curvature, matrix form and cross product entry of this frame are derived. In addition, curvature and torsionof this new frame by defining the relationship between Serret-Frenet frame and modified orthogonal frame with curvature by analyzing exemplified.In the third chapter, equation of geometric locus of spherical curves by obtained according to modified orthogonal frame with curvature, coefficients of tangent, principal normal and binormal vectors of a curve are finded. In addition, theorems about the radii of spherical curves are given.In the fourth chapter, Bertrand curves and Mannheim curves according to the modified orthogonal frame with curvature are analysed and Bertrand curves and Mannheim curves according to the this new frame are exemplified by characterized.In the last chapter, helix and slant helix curves according to the modified orthogonal frame with curvature are analysed. Lancret theorem and necessary and sufficient conditions for a curve to be a helix and slant helix curve are exemplified by expressing and proving theorems.Keywords: Modified orthogonal frame, spherical curves, Bertrand curves, Mannheim curves, helix, slant helix, Lancret theorem.