Birinci ve ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli integro-diferansiyel denklemler için düzgün nümerik metotlar

Abstract

Bu tez çalışmasında, ilk önce birinci mertebeden singüler pertürbe özellikli Fredholm integro-diferansiyel denklem için bir başlangıç değer problemi ele alınmıştır. Sürekli problemin özellikleri verilmiş, kalan terimi integral formunda olan ve baz fonksiyonu içeren kuadratür formülleri kullanılarak düzgün ve Shishkin şebekelerde fark şeması oluşturulmuştur. Yaklaşık çözümün kesin çözüme parametresine göre düzgün yakınsak ve yakınsama hızının düzgün şebekede birinci mertebeden, Shishkin şebekede ise ikinci mertebeden olduğu gösterilmiştir. Ardından, ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli Fredholm integro-diferansiyel denklem için sınır değer problemi ele alınmıştır. Sürekli problemin özellikleri verilmiş, kuadratür formülleri kullanarak düzgün ve Shishkin şebekelerde fark şeması oluşturulmuştur. Yaklaşık çözümün kesin çözüme parametresine göre düzgün yakınsak ve yakınsama hızının düzgün şebekede birinci ve ikinci mertebeden, Shishkin şebekede ise ikinci mertebeden olduğu gösterilmiştir. Son olarak, self adjoint olmayan ve sıfırıncı mertebeden indirgenmiş denklemli ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli Fredholm integro-diferansiyel denklem için sınır değer problemi ele alınmıştır. Sürekli problemin özellikleri verilmiş, kuadratür formülleri kullanarak Shishkin şebekede fark şeması oluşturulmuştur. Yaklaşık çözümün kesin çözüme parametresine göre düzgün yakınsak ve yakınsama hızının ikinci mertebeden olduğu gösterilmiştir. Sunulan yöntemler ayrı ayrı nümerik örnekler ile desteklenmiştir.

In this thesis, firstly, the initial value problem for first order singularly perturbed Fredholm integro-differential equation is discussed. The properties of the continuous problem are given, the difference scheme using the quadrature formulas with the remainder term in integral form and containing the basis functions is created in uniform and Shishkin meshes. It has been shown that the approximate solution is uniform convergent according to parameter to the exact solution and the rate of convergence is of the first order in the uniform mesh and the second order in Shishkin mesh. Next, the boundary value problem for the second order singularly perturbed Fredholm integro-differential equation is discussed. The properties of the continuous problem are given, the difference scheme using the quadrature formulas is created in uniform and Shishkin meshes. It has been shown that the approximate solution is uniform convergent according to parameter of the exact solution and the rate of convergence is of the first order and the second order in the uniform mesh and the second order in Shishkin mesh. Finally, boundary value problem for second order singularly perturbed Fredholm integro-differential equation with zeroth order reduced equation and non-self adjoint form is discussed. The properties of the continuous problem are given, the difference scheme using the quadrature formulas is created in Shishkin mesh. It has been shown that the approximate solution is uniform convergent according to parameter to the exact solution and the rate of convergence is of the second order. The presented methods are supported by various numerical examples