Some paranormed double sequence spaces and backward difference matrix

Abstract

Çift dizi uzayları üzerindeki çalışmalar Pringsheim'in [1] çalışmasında çift diziler için tanımladığı yakınsaklık kavramı ile başladı. Fakat bu yakınsaklık kavramı çift dizilerin sınırlı olması bakımından eksik kalıyordu. Bunu önlemek için bazı araştırmacılar Pringsheim anlamında yakınsak dizilere sınırlılık şartını eklediler ve yeni bir yakınsaklık kavramı elde ettiler. Hardy ise [5] çalışmasında bu eksikliği giderecek regüler yakınsaklık kavramının temelini attı. Bu yakınsaklık kavramı çift dizilerin satır ve sütunlarının her birinin ayrı ayrı yakınsak olmasını gerektirdiğinden doğal olarak sınırlılık şartını da sağlar. Daha sonradan, bazı araştırmacılar tarafından çift diziler için farklı yakınsaklık kavramları tanımlandı ve bu dizilerin oluşturduğu uzaylar üzerine çalışmalar yaptılar. Yukarıdaki bahsedilen dizilere örnek olarak [11, 13, 15–21, 45, 46] çalışmaları incelenebilir. Tek dizi ve seri uzaylarına hasredilen çok geniş bir literatür bulunmasına rağmen çift dizi ve seri uzayları ile alakalı çok az çalışma yapılmıştır. Dolayısıyla bu alanda büyük bir boşluk vardır. Bunun nedeni ise çift diziler için çok önemli olan uzayların topolojik yapılarının karmaşık ve buna bağlı olarak fonksiyonel analiz metotlarının bu uzaylara uygulanmasının zor olmasıdır. Örneğin, Pringsheim anlamında yakınsak olan bütün çift dizilerin oluşturduğu Cp uzayı doğal topolojik yapısına göre metriklenebilir (metrizable) değildir, [46, p. 10]. Ayrıca, Pringsheim anlamında yakınsak ve sınırlı bütün çift dizilerin oluşturduğu Cbp uzayı doğal topolojisine göre ayrılabilir (seperable) değildir. Bu uzaylar içerisinde, bütün regüler yakınsak çift dizilerin oluşturduğu Cr uzayı diğerlerine göre çok daha basit bir topolojik yapıya sahiptir. Bunlar gibi birçok örnek yazılabilir. Bu tezde ise, tek dizi uzayları üzerinde yapılan temel çalı¸smaların çift dizi uzayları üzerindeki karşılıklarını araştırdık. Bu çalışmada, çift dizilerde yakınsaklık kavramları ve uzayları bakımından sadece iyi bilinen p, bp ve r anlamında yakınsaklık kavramları ve bunların oluşturduğu uzaylarla birlikte bu uzayların türevleri olan uzaylar ile ilgilendik. Bu yakınsaklık kavramlarının tamamını ifade etmek için ϑ sembolünü kullandık. Bu tez aşağıdaki şekilde düzenlenmiştir. 1. Bölüm: Tezin konusundan ve öneminden bahsettik. Ayrıca, çift diziler ve seriler, vektör uzayları ve dört-boyutlu matrisler üzerine tanımları ifade ettik. Son olarak, çalışma boyunca gerekli olan eşitsizlikleri verdik. 2. Bölüm: Tezde kullanmış olduğumuz matematiksel yöntemlerden bahsettik. 3. Bölüm: Normlu ve paranormlu çift dizi uzaylarının genel topolojik özelliklerini inceledik. Daha sonra, bu uzayların duallerini hesapladık. Son olarak, bu uzaylar arasındaki dört-boyutlu matris dönüşümlerini elde ettik. 4. Bölüm: Tezden elde etmiş olduğumuz sonuçlar üzerine ayrıntılı değerlendirmeler yaptık. 5. Bölüm: Tezin genel değerlendirmesini yaptık. Ayrıca bu tezin devamı olarak yapılabilecek çalışmalar hakkında bilgiler verdik.

The studies on double sequence spaces were started by Pringsheim when he introduced the notion of the convergence for double sequences in [1]. But, this convergence notion fails to be bounded of double sequences. To avoid this some researchers added boundedness condition to the convergent double sequences in Pringsheim's sense and obtained a new convergence notion. In [5], Hardy lacked this disadvantage by giving the idea of regular convergence for double sequences. Since this convergence Notion requires separately the convergence of each row and column of double sequences, it ensures boundedness condition naturally. Afterwards, different convergence notions for double sequences were defined by some researchers, and they made studies on the spaces formed by such double sequences. For instance to above-mentioned sequences, the studies [11, 13, 15–21, 45, 46] may be examined. Although there is a wide literature on the spaces of single sequences and series, there is no big number of research on the spaces of double sequences and series. So, there is a big gap in this area. This is because the topological structure of the most important double sequences are to complicated and in connection to this are to the difficulties of applying functional analytical methods on those spaces. For example, the space Cp of all convergent double sequences in Pringsheim's sense is not metrizable due to its natural topological structure, [46, p. 10]. Also, the space Cbp of all boundedly convergent double sequences in Pringsheim's sense is not seperable due to its natural topological structure. However, in those spaces, the space Cr of all regularly convergent double sequences has rather simple topological structure. In this thesis, we investigate the counterparts on double sequence spaces of the basic studies that have been done on single sequence spaces. In this study, in the point of convergence notions and spaces on double sequences, we only be interested in well-known convergence notions in the sense of p, bp and r, and with the spaces of such convergent double sequences and their variant spaces. To specify all those convergence rules we use the symbol ϑ. This thesis is organized as follows. Section 1: We mention about the topic and importance of the thesis. Also, we give definitions on double sequences and series, vector spaces and four-dimensional matrices. Lastly, we give necessary inequalities that will be used throughout the study. Section 2: We mention about mathematical methods that we used in the thesis. Section3: We examine general topological properties of the normed and paranormed double sequence spaces. Later, we calculate duals of these spaces. Finally, we obtain four-dimensional matrix transformations between these spaces. Section 4: We make detailed evaluations on the results that we have obtained from the thesis. Section 5: We make a general evaluation of the thesis. Also, we give information on what can be done as a continuation of this thesis.