Nonlineer ısı denkleminin genelleştirilmiş fonksiyonlar sınıfında çözümü

Abstract

Tezde, nonlineer ısı dağılım denklemi için Cauchy (başlangıç değer) ve başlangıç- sınır değer problemlerinin bazı gerçek çözümleri ele alınmış, çözümün diferansiyellenebilme özellikleri incelenmiş ve nonlineerlikten doğan fiziksel fenomenler araştırılmıştır. Önce lineer ısı denklemi için yazılmış başlangıç değer probleminin çözümü Fourier dönüşümü yardımı ile ele alınmış, temel çözümün bir kaç özelliği incelenmiştir. Fiziksel araştırmalarda önemli yer tutan ve literatürde iyi bilinen ?- teoremi? incelenmiş ve başlangıçta sıcaklığı sıfıra eşit olan bir silindirik cismin bir noktasında aniden oluşan (impuls şeklinde) sıcaklığın dağılım probleminin çözümü elde edilmiştir.Lineer ve nonlineer ısı denklemleri için yazılmış başlangıç sınır değer probleminin çözümü, grup dönüşümleri yardımı ile elde edilmiştir. Lineer ısı denkleminden farklı olarak, nonlineer ısı denklemi ile ifade edilen proseslerle, ısının sonlu zaman zarfında sonlu mesafeye kadar dağıldığı gösterilmiştir. Lineer denklemlerle ifade edilebilen olaylarda ısının dağılım hızı sonsuza yaklaşır ki, bu fiziksel açıdan gerçeği yansıtmamaktadır.Bunları detaylı şekilde incelemek amacı ile tezde nonlineer ısı denklemi için yazılmış başlangıç-sınır değer probleminin koşan dalga şeklinde çözümü ele alınmış ve ispatlanmıştır ki, çözüm sonlu zamanda Dtx?, (burada D- koşan dalganın hızını göstermektedir) mesafesine kadar dağılabilmekte ve ısı bölgesini etkilememektedir. Ayrıca da ısı akışını ifade eden Dtx>),(),(txDuxutxW=???=? fonksiyonu x<Dt olduğu sürece sürekli fonksiyon olmaktadır; zaten bu fiziksel açıdan bir gerçekliktir. Ancak, xu?? fonksiyonu 2>? olduğunda sonsuza yaklaşmakta, 2=? olduğunda sonlu ve 21<<? olduğunda ise sıfıra eşit olmaktadır, burada ,? denklemdeki nonlineerliği ifade eden sayıdır. Söz konusu çözümler için 22xu?? mevcutolmamaktadır. Bu nedenle problemin klasik çözüm kavramını genişletip, zayıf (veya genelleştirilmiş) çözüm kavramı ortaya atılmıştır.Zayıf çözümü elde etmek için özel yapıya sahip ve bilinen anlamda esas probleme denk olan bir yardımcı problem oluşturulmuştur ki, bu problemin çözümünün diferansiyellenebilme özelliği esas problemin çözümünün diferansiyellenebilme özelliğinden bir mertebe fazla olmaktadır.Söz konusu yardımcı problemin gerçek çözümü, koşan dalga şeklinde ele alınmakta ve bu kullanarak esas problemin zayıf çözümü elde edilmektedir. Önerilmiş bu yöntem, daha genel şekilde yazılmış nonlineer parabolik tür denklemlerin genelleştirilmiş çözümlerini elde etmeye imkan sağlamaktadır

In this thesis the exact solutions of the Cauchy and initial-boundary value problems for a nonlinear heat equation have been obtained. Some properties, among them a physical phenomenon arising by nonlinearity of the equation have also been investigated.For the sake of completeness results some familiar in literature have been reduced. At first, the solution obtained using the Fourier transform of the Cauchy problem for a linear heat equation has been found and basic properties of the solution have also been investigated. Later, using the ?Theorem? the heat distribution in a cylindrical solid is obtained if the initial distribution of temperature is focused around one point.The solution of the Cauchy problem for a nonlinear equation is found by means of the group transformations. It is proved that in the process described by a nonlinear heat equation there is the new effect of localization. That is, the temperature is extended only to finite distance for finite period of time. This property does not exist in the solution of the Cauchy problem for a linear heat equation.Within the limits of the thesis, the solution of the Cauchy problem for a quasi-linear heat equation in traveling wave form has been found. It is shown that the temperature for a finite period of time is extended to the finite distance, where is the speed of traveling heat wave in a positive direction of ox axis, and for the temperature is equal to zero. In addition, it is proved that the function ),(),(),(txW?= expressing the heat flux is continuous for, but the function tends to infinity for Dtx? is finite for, equals to zero when2<<?. Here, is the given number expressing the nonlinearity in the equation. Thus, 2),t does not exist, and the classical solution of the investigated problem can not exist. In this case it is necessary to introduce the concept of a weak solution.In order to find the weak solution, the special auxiliary problem is introduced, since it has some advantages over the main problem and permits to obtain the solution in a class of discontinuous functions. The weak solution of the main problem is easily obtained using the solution of the auxiliary problem.