Sinüs gordon denkleminin genelleştirilmiş fonksiyonlar sınıfında çözümü için sayısal algoritma

Abstract

Üç bölümden olusan tezde sinüs Gordon denkleminin genellestirilmis fonksiyonlarsınıfında sayısal çözümü için sade ve efektif bir sayısal algoritma önerilmistir.Bilindiği gibi bir diferansiyel denklemi sonlu farklara ayrıklastırdığımızda, çözümünyüksek basamaktan türevlerinin varolması gerekmektedir. Fakat, nonlineer denklemler içinçoğu zaman çözümün diferansiyellenebilme derecesi, denklemin derecesinden düsükolmaktadır. Bu ise böyle denklemler için sonlu farklar yöntemini direk uygulamaya imkânvermez.Bu nedenle, tezin birinci bölümünde genellestirilmis fonksiyonların temel teorisi,genellestirilmis fonksiyon, genellestirilmis türev ve zayıf çözüm kavramları verilerek gereklialtyapı olusturulmustur.?kinci bölümde sinüs Gordon denkleminin durağan çözümlerinin ele alınması içinbirkaç yöntem (Değiskenlerin Ayrılması, Bäcklund Dönüsümü, Ters Saçılma Metodu vs)irdelenmistir. Bu yöntemler Schwartz fonksiyonlar sınıfında çalısmaktadır.Son bölümde ise sinüs Gordon denkleminin çözümü için nümerik bir algoritmasunulmustur. Bunun için esas probleme denk olan ve özel olarak olusturulmus yardımcı birproblem ortaya konmustur. Bu yardımcı problemin diferansiyellenebilme özelliği esasproblemin diferansiyellenebilme özelliğinden bir fazladır.Anahtar Kelimeler: Genellestirilmis Fonksiyonlar, Zayıf Çözüm, Solitonlar, SinüsGordon Denklemi, Sonlu Farklar Yöntemi

In this three-part thesis, a simple and effective numerical algorithm is proposed tosolve sine Gordon equation in a class of generalized functions.As it is known, to discretize any differential equation into finite differences, thesolution must have higher order derivatives. However, for a nonlinear equation, the order ofthe differentiability of the solution is generally less than that of the equation itself. This makesit impossible to use the method of finite differences.Consequently, in the first part of the thesis, we construct the necessary infrastructure.Indeed, the general theory of the generalized functions and the concepts of the generalizedfunction, generalized derivative and weak solution are given.Secondly, in order to discuss the solution of sine Gordon equation, some methods suchas seperation of variables, Bäcklund transformation and inverse scattering are used. Thesemethods work in the Schwartz class of functions.Finally, a numerical algorithm for solving sine Gordon equation are presented. To doso, a specially constructed auxiliary problem, which is equivalent to the main problem, issuggested. The differentiable property of the auxiliary problem is one degree higher than thatof the main problem.Key Words: Generalized Functions, Weak Solution, Solitons, Sine Gordon Equation,Finite Differences Method