2D elektrostatik Laplace denkleminin sonlu elemanlar yöntemiyle çözümü için bir programlama uygulaması

Abstract

Sonlu Elemanlar Yöntemi; mühendislik problemlerinin sayısal yöntemlerle çözümünde en popüler olan yaklaşımlarından biridir. Özellikle doğrusal olmayan sınır ve yüzeyleri modellemede tercih edilir. Ancak bu yöntemin uygulanması ve programlanması göreceli olarak zordur. Çoğunlukla paket programlar sayesinde yöntemin problemlere uygulanması sağlanır. Burada en önemli programlamama yükü otomatik ağ(mesh) oluşturmada görülür. Sonlu elemanlar yöntemi, sık olmasa da, sadece ilgili probleme özgü olarak geliştirilen modellemelerde de kullanılır. Bunda son yıllarda hızla gelişen ve değişen programlama araçlarının sunduğu olanakların önemli rolü vardır.Bu çalışmada 2D Laplace denklemi ile temsil edilen dielektrik bölgeli kapasitör problemi sonlu elemanlar yöntemi ile iki ayrı programlama ortamı kullanılarak modellenmiştir. Bu araçlar göreceli olarak yeni sayılabilecek Script dil örneği MATLAB ve klasik yapısal programlama dili örneği C Dili programlama ortamlarıdır. Sonlu elemanlar yöntemi öngörülen problem için diskritize edilmiş ve yöntemin diğer adımları sırasıyla uygulanarak potansiyel dağılım ve elektrik alan vektörleri elde edilmiştir. Programlama araçları gerek performans gerekse olanakları yönünden karşılaştırılarak sonlu elemanlar yöntemini kendi problemlerine uygulamayı düşünen araştırmacılara program geliştirme ortamı yönünde yol gösterme hedeflenmiştir.

Finite Element is one of the most popular approaches for solving the problems of engineering and science by means of numerical methods. They are particularly significant for geometries having non-smooth surfaces and borders. However the application and coding of it is relatively complicated therefore mostly the method is applied to the problems by using software packages which provides the most difficult part of FE programming that is automatic mesh generation. On the other hand, instead of using mostly expensive and extensive packages, sometimes simple programs addressing specific problems of interest are preferred to employ for FE modelling as well. This has been made possible by the facilities and easiness provided by new generation programming environments.In this work, a dielectric capacitor problem represented by a 2D Laplace equation is modelled and coded by using two different programming tools. These tools are an example of scripting languages, MATLAB, and structured programming C. In order to obtain the potential distribution and electric field vectors, first the problem is discritized accordingly with FE method and later conventional steps of the method are applied. The programming tools are compared from both performance and facilities point of views. The work is aimed at potential FE programmers to choose the best programming environment for their applications.