İki kez dejenere olan parabolik denklemlerin süreksiz fonksiyonlar sınıfında sayısal çözümü

Abstract

Bilindiği üzere nonlineer dejenere olan parabolik tür denklemin çözümünün diferansiyellenebilme mertebesi, denklemin çözümden talep ettiği diferansiyellenebilme mertebesinden düşük olmaktadır. Bu özellik denklemin klasik çözümünün olmadığını göstermektedir. Ayrıca bu özellikten dolayı çözümün bulunması için literatürde iyi bilinen yöntemlerin uygulanması da zorluk çıkarmaktadır.Tezde iki kez dejenere olan bir boyutlu nonlineer parabolik denklemin çözümü için bazı avantajlara sahip özel bir yardımcı problem önerilmiştir. Yardımcı problem kullanılarak sayısal çözümün belli anlamda gerçek çözüme yakınsadığı ispatlanmıştır. Süreksiz fonksiyonlar sınıfında yüksek duyarlıklı sayısal algoritmalar oluşturulmuş ve bu algoritmalar bazı problemlere uygulanmıştır. Dört bölümden oluşan tezin ilk bölümünde, iki kez dejenere olan denklemlerin çözümünü elde etmek için gereken alt yapı incelenmiş, gerekli bilgi ve bazı kavramlar içerilmiştir.İkinci bölümde iki kez nonlineerliğe sahip parabolik bir denklem için Cauchy problemi, sınır değer problemi ve birinci tür başlangıç-sınır değer problemi ayrı ayrı tanımlanmış ve bu problemlerin her biri için zayıf çözümler sunulmuştur.Üçüncü bölümde ise, ikinci bölümdeki sonuçlar ve önerilen yardımcı problem kullanılarak, göz önüne alınan nonlineer denklemin sayısal çözümü elde edilmiş ve bunun gerçek çözüme yakınsaklığı ispatlanmıştır. Ayrıca önerilen metodun etkinliğini göstermek amacıyla bazı sayısal deneyler yapılmıştır.Son bölümde ise Burgers Denkleminin çözümünün asimptotik yapısı incelenmiştir.

As is known, differentiability order of the solution of a nonlinear degenerate parabolic type equation is lower than the order of differentiability which is required by the solution of equation. This feature of the equation shows that there is no classical solution of the equation. Also, because of this feature implementation of the well-known methods in the literature raises difficulties to find the solution. In this thesis, a special auxiliary problem having some advantages over the main problem has been proposed for the solution of one dimensional nonlinear doubly degenerate parabolic equation. Using the auxiliary problem, the convergence of the numerical solution to the exact solution is proven. High-precision numerical algorithms were created in a class of discontinuous functions and these algorithms have been applied to some problems.The thesis contains four chapters. In the first chapter of the thesis the required background and the necessary information and some concepts to obtain the solutions of the doubly degenerate equations are included. In the second chapter, Cauchy problem, boundary value problem and first-kind initial-boundary value problem are defined separately for a parabolic equation with double nonlinearity and for each of these problems the weak solutions have been introduced.In the third chapter, using the proposed auxiliary problem and results obtained in the second chapter, the numerical solution of the nonlinear equation is obtained and the convergence of this to the exact solution is proven. Also, numerical experiments were carried out for demonstrating the effectiveness of the proposed method.In the last chapter, the asymptotic structure of the solution of the Burgers equation is investigated.