Atomik modüller

Abstract

ÖZET Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Halkalar birimli, modüller, birimsel sağ modülleri göstermektedir. Birinci bölüm giriş bölümüdür, diğer bölümlerde kullanılacak kavramları ve önbilgileri içerir. İkinci bölüm eş-atomik ve eş-sürekli modüllerin genel özelliklerini içermektedir. M, R halkası üzerinde bir sağ modül ve Rad(M), M 'nin radikali olsun. Bu bölümde: 1. M projektif bir modül ve M / Rad(M) yarı-basit olsun. O zaman aşağıdakiler denktir: i) Rad(M), M de H-tümleyene sahiptir, ii) Rad(M), M de ©-tümleyene sahiptir, iii) Rad(M), M 'nin artık altmodülüdür, iv) M eş-atomikdir. 2. R ayrık değerlenme bölgesi olsun. M eş-atomikdir ancak ve ancak M 'nin her N altmodülü için M / N inmiş modüldür. Üçüncü bölümde atomik modüller incelenmiş eş-tekdüze, eş-çokdüze modüllerin tanımı ve genel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde: 1. Her atomik modül tekdüze ve yarı-injektiftir, 2. M hollow ve eş-çokdüze bir modül ise M eş-tekdüzedir, 3. M eş-tekdüze ve eş-rasyonel kapalı ise M yarı-projektiftir, 4. M projektif, r-atomik bir modül ise M eş-atomiktir. Dördüncü bölümde, ikinci ve üçüncü bölümlerde incelenmiş modüllerden Auslander-Reiten (AR) dizileri elde edilmiştir. Bu bölümde: 1. M bir modül ve her Y modülü için M © Y eş-sürekli ise M 'yi bulunduran bir AR-dizisi vardır. 2. R bir skew-polinomlar halkası ise R-modüllerinin bir AR-dizisi vardır. Sonuçları, diğerleri yanında elde edildi.

SUMMARY This work consists of four chapters. All rings have an identity and all modules are unitary right modules. First chapter is a preparatory section containing notions that will be needed. Second chapter contains the general properties of coatomic, cocontinuous modules and we obtained the results among others. 1. Let M be a projective module and M / Rad(M) semisimple. Then the following are equivalent: i) Rad(M) has an H-supplement in M. ii) Rad(M) has an ©-supplement in M. iii) Rad(M) is small in M. iv) M is coatomic. 2. Let R be a discrete valuation ring. Then M is coatomic if and only M / N is reduced module for all N < M. In the third chapter we have defined comonoform and coplyform modules. We studied general proporties of atomic modules and we proved: 1. Every atomic module is monoform and quasi-injective. 2. If M is hollow and copolyform module then M is a monoform module. 3. If M is monoform and corationally closed module then M is a quasi- projective module. 4. If M is projective, r-atomic module then M is coatomic module. In the fourth chapter, by using the modules studied in the second and third chapters we have obtained some Auslander-Reiten (AR) sequences and we proved the results among others: 1. Let M be a module with M © Y is cocontinuous for every module Y. Then there is an AR-sequence containing M as a middle term. 2. Let R be a skew polynomial ring over a field. Then R has a AR- sequence.