Harmonik yalınkat dönüşümler

Abstract

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde f<0)=f C0)-1=0 şeklinde normalize edilmiş.yönkoruyan yalın- Z, kat harmonik fonksiyonların S sınıfı ve alt sınıflarının - 2 temel özellikleri incelendi. f=h+g<=S, h(z)=z+a z +... ve 53 H x 2 g(2)sb2+b z +... olmak üzere b için bir üst sınır a x 2 2 2 ye bağlı olarak elde edildi. Alt sınıflara ait. f=h+g~ harmonik fonksiyonları için h (z)ve g (z)ile ilgili kesin üst sınırlar bulunup, bundan faydalanarak katsayı bağıntıları verildi. F=H+G` nin tipik reel harmonik yalınkat fonksiyonlar sınıfına ait olması halinde, (1-z )HCz)/z- (l-(z) )G<z)/z nin reel katsayılı ve reel kısmı pozitif harmonik fonksiyonlar sınıfına ait olduğu ve bu iki sınıf arasında ters geçişin de mümkün olduğu gösterildi. U birim dairesini, basit bağlantılı özel bir bölge üze rine dönüştüren harmonik dönüşümler tek olarak belirlenemediğinden, ikinci ve üçüncü bölümlerde U'dan belli bir D bölgesi üzerine yön koruyan, yalınkat harmonik fonksiyonların sınıfları, değişik metodlarla incelendi, önce D nin, sabit bir a eC noktasını bulunduran Q={w:Rew>a,a<dR/ olması halinde U'dan O üzerine f <0)=a, f <0)=a *0 bağıntılarını sağlayan, O z 1 yön koruyan, harmonik yalınkat fonksiyonların S (U»0> sınıfının uç noktaları bulunarak, bunlar yardımıyla S <U.O) 'ya ait fsh+g, h(z)=a +a z+... ` g(z)=b z+... fonksiyonları için oı i. la l<(n+l)a J/2, b <(n-l } a J/2, Jf <z ) < aj/ (1- z }3 ve n in izi f_(z> <z f oldukları gösterildi. Ayrıca, bu sınıfa ait z z fonksiyonlar altında U = /z : z Sr<l Y'nin alanı; A<r)^7ra « 2 2 2 3 r (1+r )/(l+r ) bağıntısını sağladığı gösterildi. Daha sonra O üzerine kurulan, parametrik olmayan minimal yüzeyin Gauss eğriliği için k<Q)<4/a olduğu gösterildi. Üçüncü bölümde D'nin reel eksenden iki ışın çıkarılmış D,=<C/ <-oo, a, ]u[b,, +oo), a.<0<b., 0<<£<tt, olması halinde <p <p <p <p <p S (U,D.) sınıfı, ikinci bölümden farklı bir yaklaşımla ele H * _t n alınıp, uç noktalar yardımıyla a <(nsin<£) T) ksin<k<£), E. b < (n sin<£) £ ksin(k0)vef (z ) /S{1 + z }/(l- z }, n `/ z f_<z)I< zf oldukları gösterildi, z z Anahtar kelimeler: Harmonik dönüşümler, Ekstremal problemler,

ABSTRACT This work consists of three chapters. In the first chapter the class S of univalent, sense preserving, harmonic functions normalized by f<0)=f <0)-l=0, and the basic prop erties of its subclasses are worked. An upper bound for b - 2 in terms of la I is obtained where f=h+geS, h(z)=z+a 2 +... ' Z1 s K Z and g(z)=b z+b z +... Sharp upper bounds are obtained for 1 z hn(z)and g <z)where f=h+g~ is harmonic functions in subclasses. Using these, estimates for coefficients, are given. When F=H-t-G` in the class of typically real harmonic 2 univalent functions, it has been shown that (1-z )H(z)/z -<l-(z) > G < z ) /z belongs to the class of harmonic functions with real coefficients which have positive real part. Since the harmonic mappings which transform the unit disk U onto a specific simply connected region are not de termined uniquely, the classes of sense preserving univalent harmonic functions mapping U onto some region D are worked using several methods in the second and third chapters. If D is domain D=/w : Re. w> a, a<sR / containing a fixed point a <=C, by finding the extreme points of the class § (U.O) of sense H preserving harmonic univalent functions from U onto O satisfying f(0)=a, f (0)=a^, it has been shown that 7 a O z i a <(n+l)al/2, b <(n-l)al/3, jf <z ) < a 1/(1- z )3 n 1 n i z x and Jf_(z ) < /z / /f for the functions f=h+ğ, h(z)=a +a z+.., g(z)=bz +... in S (U.O). Furtermore, for the area A(r) of ^ 1 H the images of U =-fz : z <r<l`V under the functions of this 2 2 2 2 3 class, the relation A(r>< 7ta j r (1+r }/(l+r ) is given. Afterwards, it has been shown that the Gaussian curvature of the non-parametric minimal surface on O satisfies the inequality k(Q)< 4/a 2. In the third chapter, in the case where D is D. = C/ (-co, a, ]U[b,, +00), a,<0<b,, O<0<7T,the class S (U,D.) is worked tp tp tp tp H <p by a different approach and by means of the extreme points, _1 n it has been shown that a <(nsin<£) £ ksin(k<£), b i(n -l n-i n 2^3 n sin<}&) £ ksin(k0), f (z > <(1 + z ) /(1~ z ) and f_(z)l< zfj. Key vords: Harmoic mappings. Extremal problems.