Diophant denklemleri ve eliptik eğriler

Abstract

Bu tezde, iki özel iki değişkenli ve üçüncü dereceden Diophant denklem sınıfıele alınmıştır. Bunlar Bachet ve Frey eliptik eğrilerine karşılık gelen Diophantdenklemleridir.Eliptik eğriler için daha önce elde edilmiş olan sonuçlardan faydalanarak vebunlara yenilerini ekleyerek karşılık gelen Diophant denklemlerinin çözümleri ile ilgilibirçok sonuç belirlenmiştir. Basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel birer hali olany2=x3+a3 Bachet eliptik eğrileri ve y2=x3?n2x Frey eliptik eğrileri üzerindekirasyonel noktaların sayısı, bu noktaların mertebeleri ve bu eğrilerin grup yapılarıincelenmiştir. Eliptik eğri üzerindeki rasyonel noktalar, karşılık getirilen Diophantdenklemlerinin çözümlerine karşılık geldiğinden bu elde edilen sonuçlar aynı zamandabu Diophant denklemlerinin de çözümleri için de geçerli olurlar.Tezin sıfırıncı ve birinci bölümlerinde, çalışmanın ikinci ve üçüncü bölümlerine temeloluşturacak kavramlar verilmiştir. Diophant denklemi ve eliptik eğri kavramlarıtanımlanmış ve aralarındaki ilişkiler ele alınmıştır. İkinci bölümde Bachet ve FreyDiophant denklemlerinin çözüm sayıları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Üçüncübölümde ise tanımlanan toplama işlemine göre bu denklemlerin çözüm kümeleriningrup yapıları ele alınmıştır.

In this thesis, two special classes of two variable cubic Diophantine equations,called Bachet and Frey equations, are considered in relation with some elliptic curveclasses.A new set of results related to the solutions of Diophantine equationscorresponding to the ones obtained for elliptic curve classes is given. The number ofrational points on Bachet elliptic curves y2=x3+a3, and Frey elliptic curvesy2=x3?n2x, which are just some special cases of simplified Weierstrass equation;their orders, and the group structure of them are considered. As the rational points onelliptic curves correspond to the solutions of the Diophantine equations, the resultsobtained for elliptic curves are also valid for the corresponding Diophantine equations.In the first two chapters, the preliminary information necessary for the second and thirdchapters are recalled. The notions of Diophantine equations and elliptic curves aredefined and the relations between them are obtained. In the second chapter, some resultsconcerning the number of rational points on Bachet and Frey elliptic curves are given.In the third chapter, the group structure of the solution sets of these Diophantineequations under the addition operation are considered.