Küme değerli fonksiyonlar için bir duallik teorisi: Fenchel eşlenik teorisi

Abstract

Bu yüksek lisans tezinde Hamel'in /cite{hame3} çalışması incelendi. Duallik teorisinin küme değerli fonksiyonlar üzerine bir uygulaması olarak Fenchel eşlenik teorisinden bahsedildi.Bir küme değerli konveks fonksiyonun ne olduğu ve böyle bir fonksiyonun has veya kapalı olma şartlarının neler olabileceğinden bahsedildi. Küme değerli fonksiyonlar için konveks analizin skaler duruma benzer kavramların elde edilmesi, özellikle de fonksiyonun sürekli afin minorantlarının noktasal supremumunun bir küme değerli has kapalı konveks fonksiyon olması durumu araştırıldı. Bu şekilde bir fonksiyonun Fenchel Eşleniği ve Moreau-Fenchel Teoremine uygunluğu değerlendirildi.Bir önsıralı, ayrık yerel konveks uzayın kuvvet kümesindeki değerlere sahip olan bir has kapalı konveks fonksiyonun küme değerli afin minorantlarının noktasal supremumu olduğu kanıtlandı. Küme değerli fonksiyonlar için yeni bir Legendre-Fenchel kavramı tanımlandı ve Moreau-Fenchel Teoremi ispatlandı. Örnekler ve uygulamalar verildi. Küme değerli konveks risk ölçüleri için bir dual temsil teoremi ifade edildi.

In this thesis, Hamel's article was studied /cite{hame3}. Fenchel conjugate theory is taken as a point of view.A generalized condition of being convex for set-valued maps is recalled. Conditions of being proper and closed for such a set-valued mapping are also studied. The concepts of convex analysis for set-valued functions are obtained similar to do scalar case. It is given that a set-valued closed convex function can be interpreted as the point supremum of the continuous affine minorants of this functions. In this way, the suitability of a function to the Fenchel Conjugate and Moreau-Fenchel Theorem was evaluated.A preordered, discrete local convex space proved to be the point supremum of set-valued affine minorants of a unique closed convex function having values in the power set. A new Legendre-Fenchel concept for set-valued functions is defined and the Moreau-Fenchel Theorem is proved. Examples and applications were given. Among them, a dual representation theorem for set-valued convex risk measures was also given.