Doğrusal olmayan cebirsel denklemlerin köklerini hesaplayan uygulama geliştirilmesi

Abstract

Gerçek hayattaki problemlerin çözümüne yönelik öncelikle belirli matematiksel modellerin hazırlanması büyük önem arz etmektedir. Problemin matematik modeli bazen doğrusal, çoğunlukla da doğrusal olmayan denklem ya da denklem grupları şeklinde ortaya çıkmaktadır. Bu matematik modellerin, diğer bir ifadeyle problemin indirgenmiş olduğu denklemlerin yaklaşık çözümlerine ulaşabilmek için bu güne kadar birçok yöntem ve algoritma geliştirilmiş ve uygulanmıştır. En çok bilinen yöntemler, Newton-Raphson metodu ve Householder iterasyonu gibi, denklemlerin sayısal çözümlerini hesaplamak için kullanılan yöntemlerdir.Bu çalışmada geliştirilen Mathematica uygulamasında, polinom denklemler için köklerin büyüklüklerinin tahmini ve pertürbasyon-iterasyon metodları kullanılarak doğrusal olmayan cebirsel denklemlerin köklerinin hesaplanmasını sağlayan fonksiyonlar geliştirilmiştir. Uygulama çalıştırıldığında, önce kök bulma algoritması üretilmekte ve daha sonra denklemin polinom olup olmadığının tespiti yapılmaktadır. Eğer denklem polinom ise kök bulmaya başlamadan önce başlangıç değeri tahmini yapılmaktadır. Üretilmiş olan algoritma ve verilmiş olan ya da hesaplanan tahmini başlangıç değeri kullanılarak verilen denklemin kökleri hesaplanmaktadır.

The mathematical modelling of the real life problems is very essential in order to find the solution to the problem. The mathematical model of the problem sometimes leads to a linear, but mostly to a nonlinear equation or a system of equations. A lot of algorithms have been developed and applied for finding the solutions of these type of equations. Well-known algorithms that are used to find the solutions of these equations are Newton-Raphson and Householder Iteration.In the developed Mathematica application, by using perturbation-iteration methods, functions for the estimation of the magnitude of the roots of polynomial equations and for the computation of the roots of nonlinear algebraic equations are developed. When the application is called, first, the algorithm to find the roots is determined and then the check, for whether the equation is polynomial or not, takes place. If the equation is polynomial, an estimation for the initial value is computed. With the generated algorithm and with the given or estimated initial value, the roots of the given equation are then computed.