Bir ayrık av-avcı modelinin kararlılık ve çatallanma analizi

Abstract

Bu tezde, bir av-avcı modeline Euler metodu uygulanarak elde edilen ayrık sistemindinamik yapısı analiz edilmiiştir. Ele alınan bu modelde av ve avcı olmak üzere birbirleriyleetkileşim içerisinde olan iki popülasyon bulunmaktadır. Bu popülasyonlar lineerolmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenmiş olup popülasyonlardaki zamanagöre değişim ise diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilmiştir. Tezde ilk olarakmodel Euler metodu yardımıyla ayrıklaştırılarak fark denklemi sistemi haline getirilmiştir. Takiben elde edilen ayrık sistemin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliğigösterilip bu noktanın kararlı olabilmesi için gerekli şartlar belirlenmiştir. Daha sonrayine bu pozitif denge noktasında flip çatallanma görülebilmesi için gereken koşullarkonulmuş ve bu koşullar altında denge noktasındaki flip çatallanmanın varlığı MerkezÇokkatlı Uzay Teoremi (Center Manifold Theorem) yardımıyla ispat edilmiştir. Sonolarak da elde edilen analitik sonuçlar, nümerik çalışmalar ile desteklenerek biyolojikaçıdan yorumlanmıştır.

In this thesis, the dynamic structure of the discrete system obtained by applying theEuler method to a continous prey-predator model is analyzed. In this model, there aretwo populations interacting with each other, namely prey and predator. These populationsare modeled by nonlinear dynamic systems approach and the change in populationwith respect to time is expressed using differential equations. Firstly, the model istransformed into a system of difference equations by discretizing with the help of Eulermethod. Subsequently, the unity and the presence of the positive equilibrium point ofthe discrete system are determined and the conditions are set so that this point can bestable. Then the conditions for having flip bifurcation at this positive equilibrium pointare established and the existence of the flip bifurcation under these conditions is provedwith the help of the Center Manifold Theorem. Finally, the analytical results obtainedare interpreted biologically in support of numerical studies.