Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modelinin kararlılık ve Neimark-Sacker çatallanma analizi

Abstract

Bu tezde, Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modelinin dinamik yapısı analiz edilmiştir. Bu model diferensiyel denklem sistemi ile tanımlanan av-avcı popülasyon modelinden Euler metodu kullanılarak elde edilmiştir. Analiz edilen model aynı çevreyi paylaşan ve birbirleriyle etkileşim içinde bulunan iki popülasyonu içermektedir. Lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenen bu popülasyonların zamana göre değişimi fark denklemleri ile ifade edilmiştir. İlk olarakayrık av-avcı modelinin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ardından bu pozitif denge noktasının kararlı olabilmesi ve bu denge noktasında Flip çatallanma ve Neimark-Sacker çatallanmanın görülebilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra Merkez Manifold Teoremi ve Çatallanma Teorisi kullanılarak bu koşulların sağlandığı teorik olarak ispatlanmıştır. Elde edilen bu analitik çalışmaları desteklemek amacıyla bazı parametre değerleri belirlenmiştir. Sonolarak, bu parametre değerleri için sistemin faz portreleri ve çatallanma diyagramı elde edilmiştir.

In this thesis, the dynamical behaviour of a discrete-time predator-prey model of Leslie type is presented. This model is obtained from continuous-time predator-prey model by using Euler method. The model has two populations which are prey and predator living in the same environment and interacting with each other. In this model the change of populations, modeled by approximation of nonlinear dynamical systems, with respect to time is governed by difference equations. First, the existence of the positive equilibrium point of the discrete system is shown and the conditionsfor the stability are found. Then, the conditions of existence for Flip bifurcation and Neimark-Sacker bifurcation arising from this positive equilibrium point are determined. More specifically, these bifurcations are driven by using the center manifold theorem and the normal form theory by choosing the integral step size as a bifurcation parameter. Finally, some numerical simulations are presented to support and extend the theoretical results.