Kuadratik sayı cisminin zeta fonksiyonu

Abstract

55 ÖZET İmajiner kuadratik sayı cisminin Dedekind Zeta-Fonksiyonu- nun s=l'deki rezidüsü ve Laurent açılımmdaki sabit terimin he saplanması ilk olarak Kronecker tarafından' yapılmıştır.Kronecker- in bu çalışması son bölümde verildi. Q veya imajiner kuadratik sayı cisminden başka cisimlerin sonsuz mertebeden birimler bulun durması ve rezidüsünün genel halde hesaplanmasının zorluğu nede ni ile herhangi bir cisim için zeta-f onksiyonunun incelenmesi ol dukça zordur. Uzun bir süredir, Kronecker Teoremi diğer cisimlere genişletilemedi. Bu çalışmada sürekli kesirlere ayrışım teorisi kullanılarak reel kuadratik sayı cisminin birimleri hesaplandı.Daha sonra ku adratik formlar ile kuadratik sayı cisminin idealleri arasında bire-bir eşlemenin var olduğu gösterildi.Kuadratik sayı cisimle rinin zeta-fonksiyonlarmın kuadratik formlara ayrışımı aşağı gösterildiği gibi yapıldı. K,D<0 diskriminantlı imajiner kuadratik sayı cismi ise U birim grubu sonludur. Bu durumda A ideal sınıfının zeta-f onksiyo- nu -s/2 ULQ(m,n)s dir. m,</ ez Burada Im(W)>0 ve Z.1 + ZW£A olmak üzere I TnW+n I ^ Q(m,n)= - '' -, -1 diskriminantlı kuadratik formdur. Bu 2Im(W) durumda, )n^s^= / '` şeklinde tanımlanan Q'nun zeta-f onksiyonu Q <h^Z Q<:m,n)s Re(s)) 1 ise s=l'in bir komşuluğuna meromorf olarak devam etti rilebilir ve Laurent açılımı C=4Tt(^+ log( 2Im(w) )`1°g i Tl(W) I 2 } olmak üzere ^Q(s)= -2~ +C+0(s-l) dir. Burada Y Euler sabitini gösterir ve56 iW oo 2 7IinW r/(W)= e12 TT (1- G ), (Im(W)>0) n=l Dedekind zeta-f onksiyonudur. Şimdi K,D>0 diskriminaritli reel kuadratik cisim ise,r uzun- luklu dar anlamdaki B ideal sınıfının zeta-f onksiyonu r oo oo Burada Q, (x,y)=:(y+xWv) (y+xW, ), +1 diskriminantli kuad- Wk_Wk ratik form ve W,, sürekli kesirlere ayrışımı B'ye eşlenen ( (b-,,b?,...,b ))devrinin değişik dairesel permütasyonlarıyla ta nımlanan K'nm elemanıdır. s=l'de tek kutup noktası olan oo oo Z` (s)=/ /r fonksiyonu Re(s))>-^- yarı-düzlemine analitik devama sahiptir ve Laurent açılımı 1 t W, / ' 2 log k/V ZQ (s)=İZIî£- +P(Wk5W^)+0(s-l) dir. Bu durumda £^>1,+1 normlu en küçük birim olmak üzere Y~ lim (Ds/2^(s,B)- l°_^E )=y^p(wk,wk) dür-

57 SUMMARY The residuse of Dedekind Zeta-Function of imaginary guad- ^atic number fields, at s=l and the constant term in the Laurent expansion was accomplished by Kronecker.Kronecker ' s this work was given in the end of thesis. For any number fields, the analysis of zeta-function is made very much harder by the number fields other than Q or imaginary quadratic fields having units of infinite order and the evaluation of residue to be hard in general sense. For that reason an extension of Kronecker' s theorem to other fields was not attempted for a long time. In this thesis, the units of real quadratic number field were evaluated by using continued fractions theory.Later, being one-to one corresponding between quadratic forms and ideals of quadratic fields was proved. Decomposition of zeta-function of quadratic nubmer fields to quadratic forms clone as follow. If K is a imaginary quadratic fields of discriminant D < 0, then group of units U is finite.Therefore, zeta-function of ideal class A is. U ^- - Q(m,n)S where Im(W) > 0, Z. 1 + Z.W ? A-1 and Q(m,n)= - '-' - is a quadratic form which has discriminant 2Im(W) I -1. Then, the zeta-function of Q, defined by -. » Q S Z_ Q(m,n)s can be extended meromorphically to a neighbourhood of s=l if Re(s)^l.Its Laurent expansion is 2jr f)(s)= - c-i +C + 0(s-l)with constant term given by C=4TT(K+ / log(I)-logY(W)2) 1 2Im(W) y I Here o denotes Euler's constant and7UW op 2KinW t(W)=C12 TT (1- C ), (Im(W)>0) n=l is Dedekind's eta-function. If now K is real quadratic fields of discriminant D>0,then zeta-function of a narrow ideal class B of length, r is r <XD OO far fer fer VT' ? where Q, (x,y) =(y+xW, ) (y+xW, ) is a quadratic form of K W, -W, K K k k discriminant +1 and W, is a element of K whose continued fractions defined by the various cyclic permutations of the cycle( (b,,b~,...,b )) associated to B. Then, the function. 00 00 Z` (s)= / /has a analytic continuation to Qk VferQ(p>q)S the half-plane Re(s)> y,with a single pole at s=l,and its Laurent expansion is 1 i WT At' Y log k/Wk ZQ (s)=i3I+P(Wk,wJc)+0(s-l) Therefore, £,>l,the smallest unit of K of norm +1, r~ lim (Ds/2^(s,B)- l°_f )= J~~` P(Wk,Wk)