Sürekli kesirler ve pell denklemleri üzerine

Abstract

sürekli kesirler ve pell denklemleri üzerine ÖZET Bu çalışmada, sürekli kesirlerin temel özellikleri genel olarak tanıtılmış ve bazı Pell derlemlerinin tüm tam sayı çözümleri ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur. ikinci bölümde sonlu ve sonsuz sürekli kesirler tanıtılmıştır. Her bir irrasyonel sayının bir sonsuz sürekli kesre açılabileceği gösterilmiştir. Özel olarak periyodik sürekli kesirler verilmiş ve -Jd nin sürekli kesre açılımı üzerinde durulmuştur. Ayrıca irrasyonel sayılara rasyonel değerle yaklaşımın sürekli kesirler yardımı ile yapılabileceğine dair teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde x2 -dy2 = N, /N/ şeklinde tanımlı genel Pell denkleminin x, y tam sayı çözümleri ile sonsuz sürekli kesirler arasındaki ilişki üzerinde durulmuştur. Daha sonra -Jd nin sürekli kesre açılımının H.Wada tarafından yapılan yorumu verilmiştir. Dördüncü bölüm çalışmamızın orjinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde N = ±1 hali için /x2 ~dy2/ = 1 Pell denkleminin tam sayı çözümleri ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca -Jdmn sürekli kesre açılımında yararlanılan rekürans değerlerinin simetrikliği gösterilmiştir. Bu simetriklik ile tüm pozitif çözümler arasındaki ilişki açıklanmıştır. Sonuç ve öneriler bölümünde ise, elde edilen tüm tam sayı çözümlerinin Q(sd) reel kuadratik sayı cisminin d tamlık halkasının birimler gurubunun elemanları ile olan ilişkisi verilmiştir. Bir sonuç olarak, d a 2,3(mod4) hali için birimler grubunun elemanları, üçüncü bölümde takip edilen yol yardımı ile elde edilmiştir. Ayrıca x2 -dy2 = ±4 Pell denkleminin tam sayı çözümlerine dair öneriler sunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Sürekli Kesir, Rasyonel Değerlerle Yaklaşım, Pell Denklemi

ON CONTINUED FRACTIONS AND PELL EQUATIONS ABSTRACT In this study, the fundamental properties of continued fractions have been introduced and the relationship between the all solutions in integers of some Pell equations and continued fractions has been given. In the second section, finite and infinite continued fractions have been introduced. It has been mentioned that every irrational number could be expanded into an infinite continued fraction. Particularly the periodic continued fractions have been given and the continued fraction expansion of /d has been pointed out. Furthermore, the theorems related which the convergent to irrational numbers through rational values could be possible with the help of continued fractions have been given. In the third section, the relationship, based on between integer solutions x, y of Pell Equation called as x2 -dy2 =N, /N/ and infinite continued fraction, has been mentioned. Then, the geometrical interpretation made by H. Wada of the continued fraction expansion of 4d has been given. The fourth section has been formed the original part of our study. In this section, the results concerning with integer solutions of Pell equation /x2 -dy2/= 1 for N = ±1 have been obtained. On getting of the results, the mentioned geometrical interpretation has been made use of. Furthermore, it has been obtained that the recurrence values which help for the continued fraction expansion of 4d have been symmetrical. The relationship between this symmetricalness and the all positive solutions has been explained. Also, in the conclusion and suggestions section, the relationship between the all integer solutions obtained and the elements of the units group of the integral ring 0 of the real quadratic field Q{*/d) has been given. As a result, the elements of units group for i/s2,3(mod4) have been obtained by the help of way followed in the third section.Ill Furthermore, the suggestions on the integer solutions of Pell equation x2 -dy2 = ±4 have been given. Key Words: Continued Fraction, Approximation by Rational Numbers, Pell Equation.