Self-dual kodlar ve inşa yöntemleri

Abstract

Hata düzeltilmesinde etkili sonuçlar vermesi, oldukça geniş yapılar üzerinde inşa edilebilmesi, kodlama teorisinin başlangıcından bu yana kullanılmış ve halen kullanılmakta olan uzatılmış Hamming kod, uzatılmış Golay kod gibi bilinen önemli kodları barındırıyor olması gibi çeşitli nedenlerden dolayı self-dual kodlar, kodlama teorisyenlerinin oldukça ilgisini çeken ve günümüz bilgi ve iletişim teknolojilerinin birçok alanında kendine yer edinmiş olan bir kod sınıfıdır. Literatürde, bu sınıfa ait çok sayıda çalışmaya rastlanmasına rağmen halen daha belirli parametrelere ya da özelliklere sahip birçok self-dual kod bulunamamış ve yine belirli parametrelere sahip self-dual kodların sınıflandırılması tamamlanamamıştır.Bu tez çalışmasında, yukarıda kısaca bahsedilen self-dual kodlar özellikle de inşa yöntemleri üzerinde durulmuştur. Günümüzde üzerinde yoğun bir şekilde çalışılan self-dual kodlar ve inşa yöntemleri geniş bir literatür taramasıyla araştırılmış ve derlenerek elde edilen bulgular bu çalışma boyunca verilmiştir.Bu çalışma genel olarak aşağıdaki gibi düzenlenmiştir. Öncelikle kodlama teorisi ile ilgili genel bilgi verilmiş ve lineer kodlar tanıtılmıştır. Daha sonra lineer kodların önemli bir sınıfı olan self-dual kodlar ailesine ve özelliklerine yer verilmiştir. Genel kod inşa metodları ile özel olarak self-dual kod inşa eden çeşitli metodlar incelenmiştir. Bu metodlar kullanılarak self-dual kodlar elde edilmeye çalışılmış ve elde edilen kodlar ile literatürde var olan bazı kodlara ait tablo ve matrislere yer verilmiştir.Son olarak, self-dual kod inşa eden iki özel metod olan yinelemeli algoritma ve üst-yapı inşa metodu karşılaştırılmış ve bu metodlardan birinin aslında diğerinin özel bir hali olduğu ispatlanmıştır.

Self-dual codes is an important class of linear codes which has been received attention by researchers since the beginning of the coding theory because of various reasons that are effective results in error-correction, construction on the large structures and containing well-known good codes such as extended Hamming code and extended Golay code. Although many papers of self-dual codes have seen in the coding theory literature, stil many self-dual codes which has determinate parameters are unknown and also classifications of this type codes with determinate parameters are incomplete.In this thesis, self-dual codes which is briefly explained above and the construction methods of this type codes are examined. Self-dual codes and the construction methods of this type codes are investigated widely in the literature and findings obtained from this investigation are compiled in this study.Arrangement of this thesis is as follows. Firstly, basic concepts of coding theory and linear codes are introduced. Then, family of self-dual codes which is an important class of linear codes and properties are given. Also, some general construction methods and some special construction methods generated self-dual codes are examined. Self-dual codes are constructed by using these methods and codes obtained and some known codes from the literature are mentioned with their generator matrices and tables.Finally, two of these special methods, building-up construction and recursive algorithm are compared in this thesis and it has proved that recursive algorithm is actually a special case of building-up construction for the binary self-dual codes .