Silindirik kabukların gerilme durumuna delik etkisi

Abstract

ÖZET Tesisat endüstrisinde, borularda, tonozlarda, sıvı haznele rinde bacalarda ve benzeri delikli dönel silindirik yapı sistemle rinde delik problemi, delikten dolayı oluşan yer ve şekil değiştir me ve gerilme dağılımları ve özellikle delik civarındaki gerilme yığılmaları önem kazanmaktadır. Kabuklarda delik problemi üzerinde yapılan teorik ve deney sel çalışmalar problemin güçlüğü nedeniyle sınırlı kalmış, son yıl larda bilgisayarların hızlı gelişimi dolayısıyla araştırmacılar sa yısal hesap yöntemlerine yönelmişlerdir. Bu çalışmada silindirik kabuk sistemlerinin sonlu elemanlar metodu ile hesabında kullanılmak üzere her türlü sınır koşuluna uya bilen, yani sistemde varolan düzgün olmayan sınır bölgelerinde uy gulama olanağı olan, dış etkilerin, kalınlığın sürekli veya ani de ğişimlerini dikkate alabilen üçgen bir silindirik sonlu eleman geliş tirilmiştir. Bu eleman yardımıyla silindirik kabuk sistemlerinin statik yükler altında hesabı yapılabilmektedir. Delik boyutlarının kabuk boyutlarına oranını parametre ola rak alıp çeşitli yükleme şekilleri için gerilme dağılımlarını veren bir çalışmaya, bilindiği kadarıyla, rastlanamamıştır. Bu çalışmada ay rıca, simetrik olarak yerleşmiş dört deliği olan, boylam doğrultu sunda diyaframlara oturmuş tonozlarda; civarı kademeli olarak kalm alaştırılmış deliği haiz sıvı haznelerinde ve yalnız burulma momenti etkisinde olan delikli, alttan ankastre silindirik kabuklarda delik problemi incelenmiş, çeşitli delik boyutları için gerilmeler hakkın^ da fikir veren eğri ve tablolar sunulmuştur. Yedi bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümü, kabuklar daki delik problemi hakkında yapılmış çalışmaların ve kabuk sistemle-VI r in hesabı için kullanılmış yüzeysel sonlu elemanların kısaca tanı tılmasına ayrılmıştır. İkinci bölümde, ince elastik sil indirik kabuklar teorisinin esas bağıntıları özetlenmiştir. Üçüncü bölümde virtüel iş teoreminden hareket ederek sonlu elemanlar deplasman metodu denklemleri çıkarılmış, eleman ve sistem rij itlik ve yükleme matrislerinin hesabına esas olan tanımlar yapıl mıştır. Bu bölümde ayrıca metodun yakınsaklığı açısından yer değiş tirme fonksiyonlarının özellikleri irdelenmiştir. Dördüncü bölüm, beşinci bölümde geliştirilen üçgen eğrisel elemana ait formülasyonda kullanılan, alan koordinatlarının anlatımı na ayrılmıştır. Beşinci bölümde silindirik üçgen sonlu elemanın rij itlik ve yükleme matrisleri çıkarılmıştır. Burada yüzeye teğetsel yer değiş tirmeler için üçüncü, normal yer değiştirme için beşinci dereceden tam polinomlar seçilmiş, bu fonksiyonlara bir takım kısıtlamalar ge tirilerek, hesabın duyarlığı pratik olarak bozulmaksızın, serbestlik derecesi düşürülmüştür. Elemanın toplam serbestlik derecesi 36 dır. Bu bölümde elemanla ilgili özelliklerin irdelenmesi de yapılmış ve örnekler sunulmuştur. Altıncı bölümde çeşitli delik ve yükleme tipleri için yapı lan parametrik araştırmalara ait diyagram ve tablolar verilmiştir. Yedinci bölümde sayısal uygulamalar için hazırlanan ve FORTRAN IV dilinde kodlanmış EHM programının çalışma düzeni ve kul lanma esasları anlatılmaktadır. Bu program yardımıyla en genel bir yapı sistemi sonlu elemanlar metodu ile her türlü yükleme ve sınır koşulları altında çözüleb ilmektedir. Ek Bölümde, beşinci bölümde kullanılan sayısal integrasyona ait nokta koordinatları ve ağırlıkları, geliştirilen programın listesi, parametrik araştırmalarda kullanılan dikdörtgen silindirik elemanın formülasyonu, tonoz kenar kirişine ait rij itlik ve gerekli dönüşüm matrisleri verilmiştir.

SUMMARY In the pipes, barrel vaults, pressure vessels and the si milar revoluting cylindrical structural systems, the hole effect and the displacements and deformations due to the hole, and also the stress distributions -especially the stress concentrations around the hole- are very important. Theoretical and experimental studies on the shells for the hole effect have been limited because of the difficulty in the problem. But during the last years, since the computers so speedly develop, the researchers are motivated to work on more and more numerical methods. In this thesis, in order to apply finite element method to cylindrical shells, a triangular finite element is developed. This element can fit to all boundary conditions, that is it can be adopted to the complex boundary regions existing in the system, and to the continuous and sudden changes of the external effects and of the thickness. For the engineers to design the structural systems the knowledge of the stress distributions which occur depending on the ratio of the hole dimensions to the shell dimensions under va rious load effects in essential. As far as in the knowledge of the author, such a par amet rical study does not exist. This study examines three different cases : Firstly, the barrel vaults having symmetrically placed four holes under the effect of statical loads are investigated. In this case, the barrel vault is supported on the curved edges to diaphrams and the remaining edges are simply supported or sup ported on the edge beams. In the second case, the pressure vessels having a hole whose edges are gradually reinforced are examined.VIII In the third case, the stress concentrations in clamped cylindrical shells which are subjected to torsional moments are studied. The shape of the holes are rectangular. For these systems, curves showing the degrees of stress concentrations differing for various dimensions of holes are obtained. The values which are dependent on the dimensions of the holes are determined for the regions where the hole effect diminishes. Also some results are obtained for the characteristic shapes of the diagrams showing the cross sectional effects for various sizes of the holes. For these parametric studies, a curved rectangular finite element is used. This thesis has seven sections. In the first section the theoretical and experimental studies which have been worked out for the hole problem in shells are summarized. Also, the curved finite elements which have been used for the computation of shell systems are introduced. In the second section, the assumptions for the thin,elas- tic, cylindrical shell theory, the relations between displacement and deformation, the elasticity relations, the internal forces, equilibrium equations and work expressions are summarized in accor dance to Novozhilov's theory. In the third section, the basic definitions of the finite element method are introduced. The equations for finite element displacement method are obtained, using the virtual work theorem. Also the definitions essential for the rigidity and loading mat rices of the element and the system are given. For the convergence of the method, the properties of the displacement model which is selected are emphasized.IX In the fourth- section the area coordinates.which are going to be used in the fifth section for the formulation of the triangular finite element are introduced. In this secti on, the relations between the local and global coordinates and the area coordinates are given. Also, the derivative expressions of the function f (L,L,L ) are obtained. 1 2 3 In the fifth section, the rigidity and loading matrices of a curved element are obtained by using the area coordinates. This element has a triangular projection on the horizontal plane. For the tangential displacement components of the middle surface o. ?.. 3. complete polynomials and for the normal displacement compo nent 5. complete polynomial are used. For the nodal degrees of freedom; u,v,w displacement components, the derivatives of the tangential displacement components to the curvilinear coordina- 9u du 3v 3v.,...,., _ tes : -s-, tc-, -tt` > `7T~ » the rotations around the tangents of ds dy ds 3y ~ ~ ° the curvilinear coordinates : p = -?-., p = - -r - (- - and the y dy s 3s R curvatures x > 2x, x are selected. Displacement functions are s y obtained for every unit displacement conditions where one of the degrees of freedom has unit value while all the remaining ones are sero. Although the 3. complete polynomials contain 10 cons tants, each of u and v polynomials have 9 boundary conditions. The tenth constant is obtained for the displacement function in such a way that the constant strain criterion is provided toget her with the linear strain condition. In this way, the real situa tion can be represented better. Although the 5. polynomials contain 21 constants, there exists 18 boundary conditions for w function. The remaining 3 cons tants are obtained by constraining a 4. polynomial to a 3. polyno mial for a rotation function normal to the side, so that the normalx rotations along the common sides of the neighbour elements are equalized. The obtained element provides the 2 rigid body motions instead of 6. Although the displacement functions are chosen as high degree polynomials, the numerical examples have proved, for the practical finite element mesh, that the rigid body motions can be represented very close to the reality. Since the terms involved in the stress expression are selected as degrees of freedom the stresses in the neighbour elements at the nodes come out to be the same. Appropriate polynomials can be selec ted as the loading functions on the element. The integration of rigidity and loading matrices are numerically computed. At the end of the section,this element is applied to the problems that can be frequently seen in the literature and the results are given on diagrams and comparisons are made. In the sixth section parametrical applications are made. At the end of these studies increases in internal forces due to the hole effect and the regions where the hole effect diminishes are summarized for the above-mentioned system and loading conditions. The characteristic of the diagrams related to these studies are also given. In the seventh section, the logic and the flow charts of the computer program are given. This program is developed for the purpose of these parametrical studies and the applica tion of triangular element. This program is coded in Fortran IV and the operations are carried out in Burroughs 3700. Also in this program, disk is used as an auxilary unit. By means of this program, the system divided to the finite elements can be com puted in every loading and boundary conditions. At the end of this section the manual of this program and the input-output information are given.XI At the first section of the appendix the coordinates and the weights of the integration points for the numerical integra tion used in the fifth section are tabulated. In the second appendix, a short formulation of the rectan gular cylindrical shell finite element, which is used in the para- metrical investigations, is given. This element has 7 degrees of freedom for each node and provides rigid body motion. In the fchlrd appendix, the rigidity and loading matrices of a beam element formulated and the necessary transformations on the longitudinal edges of the barrel Vault are made. At the last appendix the program list, which belongs to the developed computer program, is given.