(2) de kuadratik bir transformasyon ile perspektif-harmonik (1) in inşası

Abstract

j. ÖZET ^. ' '*' (2) Bu çalışmamızda iki boyutlu £ noktalar uzayının taşı- (2) yıeısı olarak ir düzlemini gözönüne alıp £ yi kendi kendine dönüştüren bir t- transformasyonunu şu şekilde tanımlıyoruz. il nin sabit bir k koniği ile k yi reel R,S noktalarında ke sen z doğrusu ve z nin k ya göre Z pol noktası ı-transtormasyo- nunun sistemi kabul ediyoruz. (2) E nin her A noktasının k ya göre a polar doğrusu ile k nm E,E? kesişme noktalarını R, S ve S,R ye birleştiren doğrula rın A,,Ar. kesişme noktaları A nm tasvirini oluşturuyor. Böylece E yi I ye dönüştüren r-transformasyonu kuadratik bir nite lik taşımış oluyor. (A,A`) tasviri A ilkin noktası ile Z ye göre perspektif, ZA ışınının k ile C,C` kesişme noktalarına göre harnıonik durum da olmaktadır. Bölüm I de tf de kurulan temel sistem ile E nin noktaları ve £ in elemanları olan cebirsel elemanlar aşağıdaki sırada ele alınmıştır. 1. Noktaların sisteme göre çeşitli konumları gözönüne alı narak tasvirleri araştırılmıştır. Tasvir inin bir parçası sonsuzda bulunan ilkin noktalarının k üzerinde olduğu ispatlanmıştır. 2. E in bir elemanı olarak düşünülen bir K doğrusunun tasvirinin E de bir konik olduğu gösterilmiştir.K. elemanının sisteme göre özel konumları ele alınarak, tasvir elemanlarının özellikleri saptanmış ve bu koniklerin R,S temel noktaları içer diği gösterilmiştir. 3. E in K? (konikler) elemanının tasvirinin kuartik ol duğu gösterilmiş ve genel özellikleri saptanmıştır.K` in sisteme göre özui konumlarının tasvirleri incelenmiştir. K9 in Z den geç mesi halinde tasvirinin bir parçasının bir kübik olduğu belirtil-II mistir.Ayrıca tasvir eğrilerinin cinslerine göre bir sınıflandı rılması yapılmıştır. 4. Kübiklerin tasvirleri araştırılmış ve özellikleri belir- t i İmiş t ir/K., ve K` kübiklerinin sisteme göre Özel konumları ince lenerek elde edilen C, tasvir eğrilerinin cinsleri tesbit edilmiş ve sonuçları Tablo 1.2. de verilmiştir. Kübiklerin Z den geçmesi halinde sisteme göre Özel konum da bulunması durumlarında saptanan C_ tasvirleri incelenmiş ve cins* lerine göre sıralanmıştır. 5. Kuartiklerin tasvirleri, genel ve özel konumlarda tesbit edilerek özellikleri saptanmıştır.Kuartiklerin Z den geçmesi halin de tasvirleri saptanmış ve cinslerine göre sıralaması Tablo 1.3 de verilmiştir. -(1) 6. X in K elemanlarının tasvirlerinin C` elemanları n 2n olduğu gösterilmiş ve genel Özellikleri ifade edilmiştir. Ayrıca ilkin elemanının derecesi n olduğunda tasvir elemanla rının cinsleri n cinsinden hesaplanmıştır.K elemanının Z den geç mesi ve Z de a-katlı noktalarının bulunmaları halinde elde edilen perspektif - harmonik tasvir elemanlarının cinsleri n ve a cinsin den formullendirilmiştir. E in elemanlarının tayin imkanları saptanmış ve bunların inşaları Bölüm II de yapılmıştır.

Ill ZUSAMMENFASSIWG In der vorliegender Arbeit sind die Punkte der Ebene rr (2) als Punkte ernes zwei dimensıonalen Raumes £ vorausgesetzt und eine solche Transformation T wird dadurch definiert, dass sie die Punkte der Ebene it in sich selbst entsprechen lHsst. Das Transf ormationssystem T besteht aus einem festen Kegelschnitt k der festen Ebene und einer Gerade z, die k in zwei reeilen Punkten R und S schneidet, und einem Polpunkt Z auf Bezug des Kegelschnittes k des Geraden z = RS. (2) Jeder Punkt A des Raumes E, hat erne Polare a auf Bezug k j Die Polare a schneidet k in Punkten E1 und E9. Also die Verbindungsgeraden der Punkte E und E` mit den Punk- ten R, S und S,R schneiden sich in der entsprechenden Punk- ten A und A,.. Also diese Transformation t, die die Punkte des L' Raumes in sich selbst entsprechen lasst, ist qu- adratisch- Die entsprechenden Punktepaara (A, A ) liegen einerseits m i t dem Urelementen A und mit Z auf einer Gerade, also sie liegen perspekt ivisch ; andererseits mit den Schnitt- punkcen C1 und C,. tnit k, d.h ( A,, A? ) und ( C,, C` ) sind harmonisch. Das Transf ormationssysten besteht aus dem Kegelschnitt k, den Grundpunkten R und S, der Achse z = RS, und den grunden Tangent en r und s im Punkte R und S, und dem Zentrum Z des Schnittpunktes der Geraden r und s. Also je- de Gerade durch Zentrum heisst Strahl. I m ersten Abschnitt werden mit dem in tt definierten (2) Grund system die Punkte in £ und die algebraische Kurven, die die Elemente der aus einem ein dimensionalen ElementIV gebiideten ur Menge Z voıı Z sind, untersucht. Die `????',& ',(2). (1) gefundenen Elemente von Z werden al s Abbildungsmenge Z (2). von Z definler t. (2) Durch Betrachten der Elemente von Z werden die Abbildungen in fölgender Weise gef ünden: 1. Ein beliebiger Punkt A, der auf dem durch Z lati fenden Strahl liegt, liegt mit dem entsprechenden Abbil - dungspaar ( A.., A` ) auf gleichem Strahl. Zwischen den Punk- tepaare ( A1, A« ), ( B., B« ) » ( C., C` ) und ( A, Z ) werden aus dem Polarbeziehungen die folgendeıı Boppelver - hUltnisse erhalten: ( AB», C2Cı ) = - 1, ( ZB s Cıco ) s ~ 1» ( AXA2, BXB2 > * - 1 und (A^, C^ ) = - 1 (Fig.I.l). Durch Benützung des DoppelverhMltnisses ( B B`, A..A } a - 1 und (C-.C, ^ı-^-o ) = ~ 1 findet inan eine Involution auf der Geradfe u, deren die Grundpunkte ( B, B~ ) und ( C., C` ) sind, die Doppelpunkten dieser Involutions sind die Abbildungspaare (A, A` ) von A. Zeichnen des Abbildungspaares A » A~ von der projek- tiven Geometri bekant [lj. (2) Die Punkte von Z zeigen einige Besonderheıten auf Bezug des Grundsystems : a). Wenn die Polgerade a von A, die k in zwei re- ellen Punkte schneidet, so sind die Doppelpunkte der hyper~ bolischen Involution ( B, B` ) und ( C,, C` ) die Abbil- dungspunktepaare.????.,.-`.-^ V -'??;- '?'-'?: ' -:?-? ? '.? ' ?< }/k ^ ){?':?:?; b). Wenn die Polgerade a von A, die k nicht scliV neidet, so sind die Doppelpunkte der elliptischen Involution ( B, B9 ) und ( C, C` ) die Abbildungspunktepaare, also die Abbildungspunktepaare ( A-., A ) sind imaginar. c). Wenn der Punkt A auf k liegt, so sind die Ab- bildungspaare ( A, A` ) mit A inzident; das heisst A=A =A,.. AJ so der Kegel sehnitt k 1st die Inzidenzelernent von X. d). Wenn der Punkt A mit Z inzident ist, so ist einer der Abbildungspunktepaare ( A, A` ) inzident mit Z. e). Wenn der Punkt A mit dem unendlichf ernen Punkt von ii inzident ist, so liegen die Abbildungspunktepaare (A., A ) auf der Verbindungsgerade A mit Z. 1). Wenn der Punkt A auf r (bzw. auf s ) liegt, so ist einer der Abbildungspunktepaare ( A, A` ) inzident mit R(bzw. mı t S ) und anderer liegt auf r ( bzw. auf s ). Jetzt nehmen wir einen von den Abbildungspunktepaaren QD ( A, A ) mit der unendlichf ernen Punkt als inzident (d.h.A =A9 ), so ist der geometrische Ürt des Urpunktes A ein Kegelschnitt k. 2. Die Gerade K.. sei ein Element von Z.Die Berüh - rungspunkte der Tangenten, die durch jedem Punkt A von Element K zu k gezeichnet werden, bilden zwischen dem Punkt en von k e ine Involution.Die Verbindungsgerade der İnvolutionspunkte mit den Scheıteln R und S, die auf k liegen, bilden zwei Geradenbüschel, die gegeneinander projektiv liegen. Also die Ab- bildung der Geraden K ist ein Kegelschnitt C`, der das Resul- tate des Projekt ivit&ts ist ; also C` ist ein Element vons? ;. ? ` ^ VI ! v ' ^ £. Der Kegelschnitt laaıft weder durch Grundpunkte R und S'v, und noch die Schnittpunkte K- mit k. Diese Punkte nennen wir die Kegel schnittpunkte der Abbildung. Die Verbindungsgeraden Z mit den Schnittpunkten K. und k sind die Tangenten an den betref fenden Punkten. Die Strahlen, die durch die Schnittpunkte JL' und k lMuft » o sind die Richtungen des Asymptoten des C^. Je nach die Schnittpunkte der Gerade K` mit k Reel » İp İmaginar öder Zusammenfallend sind, ist die Abbildung C? eine Hyperbel, Ellipse öder Parabel. Wenn die Gerade K.. den Kegelschnitt k berührt, so ist der Kegelschnitt in zwei sich schneidende Geraden ent- artet( Fig. I. 2). Wenn die Gerade K. durch Z lUkift, so entartet der O o Kegelschnitt C0 in zwei Geraden, die eine mit K und die an- £? 1 dere mit der Achse z übereinstimmt. 3. Die Abbildung von K? » die ein Elemente von E (1) ist, ist eine Kurve C,, die Y> angehört, weil das Trans formation T quadrat isch war. Die Kurve C, tr> <4ie Punkte R, S und diese Punkte sind die Doppelpunkte der Kurve. Denn die Tangenten r(oder s) schneidet K~ in zwei Punkte ; eine der Abbildung dieser Punkte stimmt mit R (öder mit S ) überein. Also C, lHuft durch o die Schnittpunkte K~ mit k, und die Strahlen, die durch die betref fenden Punkte laufen » sind die Tangenten der Kurve. Die Strahlen, die durch die Schnittpunkte K2 mit k liegen sind die Richtungen der Asymptoten von C,.Da die Punkte R unci S die Doppelpunkte von C ist das Geschlecht der Kurve p = 1 (_3J. Wenn K`, k berührt, so 1st dieser Punkt ein Doppel - punkt von C,. Da die Punkte R und S auch die Doppelpunkte der Kurve C. sind, ist das Geschlecht von C. null.C. ist die rati- 4 4 4 onale Quartik. Wenn bei der Umgebung des Beriihrungspunktes K» mit k, der taLİonelle Quartik C, keine reelle Asten hat, so ist der Punkt ein isolierter Doppelpunkt von C,. 1 Vor dem Transformation T herauskommende Kurve C,,wird auch von der Resultate der Geradenbüsçhel mit dem Scheitel R und S, mit einem (2,2) Korespondenz erhalten.Also R und 1 S smd die Doppelpunkte dıeser C,. Da die Tangenten r und s, der Kegelschnitt K» nicht schneidet, so sind die Punkte R und S isolierte I oppelpunkte von C,. Das Urelement K` l&uft durch das Zentrum Z ; Die Abbil- dung des Punktes Z ist der zu E gehörige Punkt Z und die Achse z. E as heisst, die Abbildung von K? entsteht von einer Gerade z und einem Kübik C`. (1). Dieser Kübik C,,, der die Elemente von £ ist, lüuft durch die Punkte R, S und Z. Da die Grundtangente r und s, die Kurve K` ausser Z in einem Punkt schneidet, sind die Punk te R und S die einfache Punkte der Kurve. Und sie lUuft auch durch den Schnittpunkt K,. mit k und hat die Strahlen an den be tref tenden Punkten al s Tangent e. Die Richtungen der Asymptote sind die Strahlen im Schnittpunkte K0 mit k. 2 p Da der Abbildungselement C` keinen Doppelpunkt hat, ist l das Geschlecht p= 1, d.h,C ist ein elliptischer Kübik.VIII 4. Das kubische Element K von £ » je nach seinem Ceschlechl ist entweder K3 oder K^. ^ Die Abbildung von K` und K0 ist eine Kurve C,.R und S sind die dreifachen Puukte dfcr. Kurve C,. Die anderen Eigenschaf - ten von C sind wie im Paragraph 3 zu erhalten. Wenn Z von K` ein einf aches Punkt ist, so wird Cr in Cr und 3 6 5 z zerfUllt. Wenn Z von K` ein zweif aches Punkt ist, so wird C, in C, und 3 6 4 eine zweifache Gerade z zerfUllt.Also fiir den letzten Fall sind die Punkte R und S einfache Punkte und Z ein Doppeipunkt. ~ ( 1 ) 5. Das quart ische Element K, von Z ist je nach seinem -j 9 1 Geschlecht entweder K,, K., K., K. oder K. mit seinem 4,4 4 4 4 dreitachen Punkt. Die Abbildungen dieser Elemente von I sind eine Kurve C`, die die Punkte R und S als vierfache Punkte haben. o Also das Geschlecht von C` ist 0 < p< 9.Die anderen Eigenschaf - ten von C` sind wie im Paragraph 3 zu erhalten. Wenn Z von K. ein einfache Punkt ist, so wird -0o in C_ H o / und z zerfUllt.Wenn Z von K ein zweifacher Punkt ist, so wird Ct, in CL und eine zweifache Gerade z zerf Milt.Wenn Z von K. ein 8 6 4 dreifacher Punkt ist, so wird C` in C und eine dreifache Gerade z zerfUllt. 6. Da die Transformation i quadratisch ist, ist die Abbil - (1) dung von K das Element C,, von E. Also C» hat die Punkte ° n in 2n R und S als n-fache Punkte und lMuft durch den Schnittpunkt K n mit k und hat die Strahlen an den betreffenden Punkten als Tan- gente.Die Richtungen der Asymptote sind die Strahlen im Schnitt punkt K mit k. n p Das Geschlecht vom Abbildungselement C ist İn Grâ'd VCrm - 2 Urelement K in der Form von p = ( n - 1 ) zu erhalten. n Wenn Z von K ein einfache s Punkt ist, so wird ?` in n ZnIX,, v - C`.. und eine einfache Gerade z zerfUllt, also die Punkte 2n - 1 R, S sind die ( n-1 )-fache Punkte von C`.Das Geschlecit 2 von C0. ist p = (n-1). 2n-l Wenn Z von K ein a-facher Punkt ist, so wird C^. in,, n Zn C_ 2n-a und eine a-fache Gerade z zerf Milt.Also die Punkte R und S sind die (n-a)-fachen Punkte von C`.Das Geschlecht von C` 2n-a 2n-a 2 ist p = n(n-2) -(a -a -1). 7. İn dem zweiten Abschnitt wurden die Konsruktionen mög- ^(1) lichkeiten der Elemente von l best immt.Ausserdem wurden für ihre Konstruktionen mit Hilfe von t -Transformation Methoden gegeben und deren Konstruktionen durchgeführt.