Transport bandlarının enine serbest titreşimlerinin hesabı

Abstract

ÖZET Transport bandları karkas yapısının çok kat lı, bazı hallerde de çelik telli veya çelik saçlı olarak yapılması nedeniyle bu elemanlar belirli mertebelerde eğilme rijitliğine sahip olmaktadır lar. Bu bakımdan stasyoner bandların enine titre şimleri kirişlerinki ile aynıdır; yani aynı dife ransiyel.denklemle ifade edilmektedir. Yapılan araştırmalardan görülmüştür ki, ha reketli transport bandların enine titreşimlerinin diferansiyel denklemi testere bandlar ınınki ile ta- mamiyle aynı, akışkan ileten boru hat lar ınınki ile de ana- logdur. Böylece, pratikte değişik uygulama alanla rının bulunması bu konuya olan ilgiyi artırmıştır. Bu çalışmada, yatay doğrultuda rulolar üze rinde düzgün hareketli transport bandlarınm ser best enine titreşimleri ile birlikte testere band ları da incelenmiş; band hızlarının doğal frekanslar ve modlar üzerindeki etkileri araştırılmıştır. Birinci bölümde konuyla ilgili çalışmalar tanıtılmış, kısaca içerikleri ve el de edilen sonuçlar hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölüm, titreşim hareketinin diferan siyel denkleminin kurulmasına ve çözümünde uygula nan yöntemin tanıtılmasına ayrılmıştır. Titreşim hareketinin denklemi, 4. mertebeden kısmi türevli lineer bir diferansiyel denklem olarak çıkmaktadır. Bu denklemin katsayıları boyutsuz hale getirildik ten sonra bir çarpım vazı ile yine 4. mertebeden- 11 - sabit katsayılı lineer ve homojen bir diferansiyel denkleme dönüştürülmüştür. Karakteristik denklem köklerinin durumuna göre iki ayrı çözüm fonksiyonu verilmiştir. Üçüncü bölümde, iki değişik sınır şartı için ayrı ayrı doğal frekans denklemleri bulunmuş, bun ların çözümüyle 4. harmoniğe kadar frekansların band hızıyla olan değişimi elde edilmiştir. Doğal frekansların boyutsuz hızlara göre değişim tarzları kapalı fonksiyonlar şekline ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle frekans denklemlerinin çözümünde bilgisayar kullanılmış, sonuçlar tablolar halinde düzenlenerek simetrik ankastre ve basit mesnet sınır şartları için ayrı ayrı verilmiştir. Elde edilen bu tablola rın yardımiyle, doğal frekansların band hızlarına göre değişim eğrileri çizilmiş ve bu eğrilerin yak laşık denklemleri verilmiştir. Dördüncü bölümde mod denklemlerinin elde edilmesi üzerinde çalışmalar yapılmış, yine ankastre ve basit mesnet sınır şartları için ayrı ayrı ifa deler verilmiştir. Her iki halde de dörder adet olan integral sabitleri, sınır şartlarından ötürü, herhangi birinin keyfi olarak seçilebilen değerine göre hesaplanmıştır. Bu katsayılar kompleks değerli olduklarından fonksiyonlar da kompleks fonksiyonlar olarak bulunmaktadırlar. Eu nedenle fonksiyonların çizimi Gauss düzleminde yapılabilmiş, ayrıca reel eksen takımı üzerindeki tezahürleri gösterilmiştir. Bu bölümde ayrıca bandların kritik hızları nın araştırılmasına da yer verilmiştir. Kritik hız lar doğal frekansların kaybolduğu band hızları ola rak tanımlanmış, bu hızlarda kararsız titreşimlerin ortaya çıktığı saptanmıştır. Kritik hızlar değişik sınır şartları ve muhtelif harmonikler için ayrı ay rı hesaplanmış, bunların elde edilmesinde analitik çözüm yolu izlenmiştir.,. Sonuç bölümünde bazı önemli noktalar ve elde edilen önemli sonuçlar özetlenmiştir.- Ill - EK I de, frekans tablolarının elde edilmesi ni sağlayan Fortran IV dilinde hazırlanmış ana ve alt programlar ve bunların akış diyagramları; EK II de de mod denklemlerinin katsayılarını hesaplayan programla çıkan sonuçların tabloları verilmiştir.

- iv - SUMMARY In this study, the natural frequencies and modes of the moving bands and the critical speeds are examined by using the exact theory and solving the equations of motion. Various boundary conditi ons are applied and their effects to the frequen cies and mode shapes are investigated. In the first chapter, an introduction to the vibration of continuous systems are given and then the types and effects of vibration on these systems are explained and also the importance of vibration is di splayed. Also, up-to date references about the moving bands and similar structures are given according to the historical period. As a result of research, the vibration characteristics and the equations of mo tion of the moving band are similar to those of handsaw, pipelines containing flowing fluids. In the second chapter, the basic equations of a moving band are given. For a mov'ag band which moves along the x coordinate with V velocity, choosing the coordinate axes (X,w) also moving with the band, the differential equation of the trans verse vibration is, EI w IV. m.. + iw = o- v - In this equation, axial force along the x coordinate shearing force and rotatory inertia effects on the vibration are neglected. And the % being the cons tant distance between the two carrying rolls, we accept the values E, I and m, be constant along the band. If we want to express the w functio'n accord ing to the fixed coordinates (x,w), we must apply the variable transformations, x = f!(X,T) and t = f2<X,T) So, the partial differential equation of a moving band according to the fixed (x,w) coordinates is, In order to make the differential equation non-dimensional, the following quantities are introduced, pl/2 r x w C l where: G = As a shown above EIİ m result, if the dimensionless quantities»~ and the coefficient a= V&/Cİ/2 are used, the differential equation of motion is follow mg: 3Ç*. H2 3^3t 3t2 The problem thus reduces to solving the above equation subject to prescribed boundary con-- VI - ditions. First, we accept n(fi.T) -.y(C).e İÜ3T So, the main equation reduces the following form separated its variables, İİİ + c2 l!* + 2 aiw 4£ - u,2y = 0 dÇ4 d?2 dÇ This is a linear and homogen ordinary differential equation with constant coefficients and fourth degree, and has a solution of y=Cer£ So, we obtain the characteristics equation, 4 2 2 2 r + a r + 2aia)r - w - Q We solve this equation by separating its parts. And for the conditions of a^/4 - a) > 0 we obtain a solu tion function. This is r £ r I r £ r Ç y(£) = C.e x + C0e z + C`e J + C,e In the third chapter, we introduce the boun dary conditions; - for the fixed conditions at both ends, y(0) -V(0) - 0 y(l) = y'(l) = 0 - for the simply-supported condition at both ends, y(0) = y`(0) = 0 y(l) = y`(l) = 0 If we apply these boundary conditions to the solution function, for each two kinds condition, we obtain two homogen equation systems, each has four equations.- vil - We search non-trivial solutions and so we equate the coefficients determinant to zero. That is A=0. So we obtain frequency equations for two kinds of boundary conditions. These equations are the implicit functions of F(a,u))=0 and have no expression in the shape of üi=f(a). Hence, the relations between a and U) may be obtained with the computer facilities. The output is arranged accord ing to the tabulation of a and U) values. In order to calculate the roots of frequency equations, a subroutine is developed using the Bolzano method. In the fourth chapter, we obtain mod equa tions for two kinds of boundary conditions and plot the modal curves up to the fourth harmonics. The partial differential equation of motion is linear, and so the linear combination of all the particular solutions constitue its general solu tion. The general solution of the partial differen tial equation of motion is the following: n(£,T) = 4 k = l (C,t) = { I k = l n k ^ İÜJT C,e }e This solution must satisfy the equation of motion and boundary conditions, and has no time- dependence. The term e1(A)T is always present and it is sufficient to satisfy the boundary conditions for the term between the parantheses. If we substitute the roots of the frequency equation that found in the preceding chapter, to the general solution we obtain yv(£) eigenf unctions for every w eigenvalues. The general form of the eigenf unctions is, 4 ?yvU) = l Ck*e V k=l * W^ The values of C, may be calculated from the- vııı - boundary conditions for the two types mentioned above. The non-trivial solutions of C^ are present only when the determinant of the system equals to zero. bi-^v eigenvalues make this determinant zero. To determine the Ck s, we choose one of them arbitrarily in the system of equations and then obtain the others. In this study, Ci was chosen arbitrarily and then C2, C3, C4 were determined. To determine Cfc s more easily, we introduce C, ; new constants i C-, C«, C~, Cl = Cl + C2 c2 - <Cl.- c2)i c3 = c3 > c4 c4 = <C - C )i and if we make some trigonometric transformations, obtain the following modal equation, a i £ - - y(£)=e (C1cosbÇ+C sinbÇ) -ai? - + e (C^coscÇ+C, sincE,) In this equation, we see that C3=-Cı relation is always present. Hence, we may determine the Ck coefficients more easily and quickly. Because of the Cfc s are complex-valued, the modal curves were plotted on the complex plane and then taken their projections on the real plane. When the frequency curves are examined, we see that the frequency decreases while the band velocity increases. Some a values make the wv eigen values zero. These band velocities are called `critical velocities`. The differential' equation of the motion for 0)=0 become s, ±4 ? a2 ±4. 0 dC dC- IX -? and the general solution is, y « C1+C2Ç+C3eİOtÇ+CAe`İa^ If we apply the boundary conditions of the two types to the equations above, we obtain two homogen equation systems with each has the order of 4x4. We equate their determinants to zero and determine the a. values, kr We substitue the c%r values and obtain the critical velocities of the band. This is, V «1/2 a,. C kr kr I The main results of this study can be summarized as follows: 1- It is seen that the transverse vibration of transport-bands is similar to the vibration of pipelines containing flowing fluid and handsaws. In these systems, while the band velocity increases, the circular natural frequency decreases. 2- When the decrease in frequency arriving at zero, the velocity is called critical velocity of the band. It is not advisory to run the band at these velocities. 3- Each frequency corresponds to one velo city at lower modes and we have stable running zones at these modes. But at higher modes, we have upper and lower bounds of frequencies for some velocity ranges. Those ranges cause the band run unstable and it isn't advised to run. Those ranges were shown at the graphs in the third chapter.