Daralan kesitli çubukların eğilme titreşimleri

Abstract

in. ÖZET Değişken kesitli çubukların çeşitli mühendislik yapıların da uygulamalarına rast! anmak tadır. Türbin kanatçıkları s uçak ve gemi pervanelerinin palel eri uçak kanadı gibi yapılar birer de ğişken kesitli çubuk olarak idealize edilebilir. Bu yüzden bu e- lemanların titreşimlerinin incelenmesi Önem kazanmıştır. Bu çalışmada değiş ken kesitli çubukların eğilme titreşim leri ndeki doğal frekans ve normal mod-taw m n bulunması için ge nel bir metot geliştirilmiş »aynı zamanda bu metot sayısal metot larla da desteklenerek pratik bir şekilde çözüme ulaşılmıştır.. Çubuktaki kesit değişimlerinin, doğal frekans ve mod şekillerine etkileri. saptanmıştır, Birinci, böl ümde titreş imi er İn tipleri ve yapılar üzerindeki etkileri kısaca açı kî anmış, bu konuyla ilgili çalışmalar tam tir larak içerikleri hakkında bilgi verilmiştir. Yapı tan çalışmanın konuyla, il git i çalışmalar arasındaki konumu saptanmıştır. Eski a raştı rmalarda görülen eksiklikler ve bu konuda yapılacak işl em ler sıralanmıştır..... İkinci böl ümde daralan çubukların eğilme titreşimlerine ait. hareket denklemi tanıtılmış ve yapılan kabuller açıklanmıştır. Bu çalışmada geneli eştirilen metotlarla çözülebilecek çubuk profili grubu tanıtılmış ve geometrik özellikleri verilmiştir. Çubukları sınırlayan- eğrilerin değişimi çubuğun kesit alanı ve atalet mo menti değişim parametrelerine göre incelenmiş ve değişik paramet relere göre profil- tiplerinden örnekler veri İmiş tir. Bunun yanında çubukların genişlik ve. kalınlığının »uzunluğuna eksen boyunca de ğişim parametre leriyle alan ve atalet momenti değişim parametrele ri arasında ilişki kurulmuştur»IV Üçüncü böl umde, değişken kesitli çubukların eğilme titreşim leri için verilen hareket denklemi Bessel Diferansiyel Denklemi haline getirilmiş ve çeşitli çubuk profilleri için çözümler a ranmıştır. Bunun için önce, dördüncü mertebeden değişken katsayı lı diferansiyel denklem, iki adet ikinci mertebe diferansiyel o peratör denklemin çarpımı haline getirilmiş ve sonra bu iki ayrı denklem»dönüşümler uygulanarak Bessel Diferansiyel Denklemi ha line dönüştürülmüştür. İkinci mertebe denklemlerin çözümlerinin birleştirilmesiyle »hareket denkleminin genel çözümü elde edilmiş tir. Hareket denkleminin değişken katsayıları »alan ve atalet mo mentleri değişim parametreleriyle ifade edildiğinden »bu paramet relerin değişmesiyle elde edilen çubuk profilleri için çözümler bulunmuş tur. örnek sınır şartları olarak»bir ucu ankastre ve di ğer ucu serbest çubuğun sınır şartları al inmiş, -bu şartların ke sin çözüme uygulanmasıyla da frekans denklemi elde edilmiştir. Elde edilen frekans denklemi Bessel Fonksiyonları cinsinden olup bu fonksiyonların tam ve kesirli mertebelerine göre ayrı ayrı» geliştirilen bilgisayar programlarıyla çözülerek ilk beş mod i- çin doğal frekanslar bulunmuş tur. Bu frekanslara karşılık gelen normal mod bağıntıları veril mistir. örnek profiller olarak, geniş liği sabit ve kalınlığı lineer olarak değişen» genişi iği ve ka lınlığı lineer olarak değişen»genişliğı` parabolik ve kalınlığı lineer olarak değişen çubuklar al inmiş tır. Frekans denklemini çö zen bilgisayar programı açıklanmış ye akış` diyagramı verilmiştir. Dördüncü böl umde, hareketin dördüncü mertebe diferansiyel denk! emi »sonlu fark eşitlikleri cinsinden yazılmıştır. Bunun so-, nucunda »hareke t denklemi »bir lineer denklem sistemine dönüşmüş-, tür. Denklemin değişken katsayıları «çubuğun genişlik ve kalınlık değişim parametreleri cinsinden ifade edilmiştir.Homojen olan bu, denklemi er»sınır şartlarının da uygulanmasıyla bir Özdeğer prob lemi şekline dönüşmüştür. Simetrik olmayan ve sınır şartlarının merkezi farklar cin sinden yazılarak. sisteme ilavesiyle, kare matris haline gelen katsayılar matrisi, bilgisayar programlarıyla çözülerek doğal fre-1 kanslar elde edilmiştir. 40,60, 80 adet düğüm noktası için çözülen katsayılar matrisinden elde edilen doğal frekanslar arasında eks- trapolasyon uygulanarak, kes in çözümlere çok yakın frekans değer leri buluhmuştür.Bu fark düşük modlarda $l'den düşük olmaktadır. Bilgisayar programlarında uygulanan bazı yön temi eri e, kesme ye yu varlatma hataları enaza indirgenmiştir.Elde edilen frekans değeri eri 9ana programda yerine konu larak bulunan lineer denklem sistemine»Gauss-Jordan metodu uygu lanarak o frekansa karşılık gelen normal modlar elde edilmiştir., Besinci böl ümde Bessel Fonksiyonları ile elde edilen sonuç- larla Sonlu Fark sonuçları karşılaştırılmış ve frekans eğrileri ile normal mod eğrileri ç i zil erek, anal iz edilmiştir.Bessel Fonk siyonları ile elde edilen sonuçlarla Sonlu Fark sonuçlan arasın da büyük bir uyum görül müştür.Bilgisayâr programlarının probleme uygun olarak hazırlanması ve sonlu farkların özelliğin den ortaya çıkan hataların azaltılması için bir ekstrapolasyon uygulanması sonucunda bu hata. Oranf ı %1 mertebesinde kalmıştır,. Frekans eğrilerinden görüldüğü gibi çubuğun genişlik ve ka lınlık daralma oranları arttı ğında temel modun frekansları art- maktadır.Daha yüksek mödlarda ise genişlik daralma oram artar ken frekanslar artmakta,kalınlık daralma oram artarken ise fre kanslar azal maktadır. Bu bölümde sonlu farklar metoduyla bulunan normal mod eğrileri çeşitli çubuk profili gruptan için veril miş- ve analız edilmiştir.- Sonuç bölümünde elde edilen önemli sonuçlar ve çalışmanın uygulanabileceği diğer çalışma alanları özetlenmiştir. Ek'J.1 de «doğal frekanslarla normal değerl erinin bulunma-,. sında kullanılan Fortran ÎV dilinde hazırlanmış bilgisayar prog ramları »Ek.11 de ise Sonlu Farklar metoduyla hesaplanans çeşitli. ; değişken, kesitli çubuk profillerine ait»ilk beş modun doğal fre kansl arı. tab lo hal inde verilmiştir.

SUIWRY- BENDING VIBRATIONS OF TAPERED BEAMS In this study, the natural frequencies and normal modes of tapered beams are examined by using simple beam theory. Exact and numerical methods are used to obtain the solutions. Also, the fre quencies and modal values corresponding to various beam profi- les are analyzed. In the first chapter,the effects of vibration on the st ructures and the types of vibrations are explained and the im portance of vibration for tapered beams is displayed. Also, up- to date references are given and the contents of papers on the bending vibration of tapered beams which have si milar boundary conditions with the study are summarized. Finally, the lackness of the old researchs is listed. In the second chapter, the basic equation of bending vib rations of tapered beams are given according to sample beam the ory. For the isotropic,homogeneous beams with taper, the equation of motion for bending vibration is, 2 * 2 J-9 [.EI(x)^4] -pA(x)w2Y=0 (0.1) dxT dx* where EI(x):Bending rigidity of the beam(elastic modulus times moment of inertia of the crossr-section) pA(x):mass per unit length of the beam x :horizantal coordinate along the length of the beam Y : vertical coordinate perpendicular of the beam to rangular frequencym The beams whose bending rigidity and mass per unit length vary according to two arbitrary powers of the longitudinal coor dinate are considered in the present investigation.The relation ship of the variations may be written as, Ei(x)=y0(£)m (0.2) x*n PA(x)=p0A0(p where EQI0 is the bending rigidity and p0A0 is the mass per unit length at the larger end öf the beam where xsL. The relations of Eq;(o.li can be considered as a.homogene ous with the moment of inertia and cross-sectional area varying with powers m and n respectively. The relations can be applied for a general class of cross-sections with varying thickness and width.An important group of beam shapes, can be considered in as shown in Fig,2. 4.The. cross -section of the beam is symmetrical and its first quadrant- is bounded j?y the curve of the equairion, 0 (f)'M),i -. (a.3) where b represents the half of the width and h represents the half of the depth of the beam. These parameters vary according to the relations, b*b0(£)*. and h«hc$* `- (0.4) The constants tf> and <j> are positive but not necessarily integers. + *. The selection of different values for the parameters <* and g in Eq.(Q,3) permits the cross-section of the beam to be varied from the diamond shape, («=$=!) »through the elliptical shape, (as 8=2)* to the rectangular shape, {a and g»l).The moment of -inertia and the area for this group of cross -sections may be expressed in `terms of a and B swhich gives, 3 O O 4-wjN r(l**i) (f) $*3sjT (0.5).VIII A* 4bnh. o o r(3'i)Hj»i) Î) (£> (0-6) Comparison of Eqs.(0.5) and (0.6) with Eqs. (0.2) yields the re lationships between the parameters m,n with <M»as follows: m='P+3* and n=i^+<j> (0.7) The beam described by Eqs.{(L2) can also be considered as a non-homogeneous beam with unifirrocross-section »provided the modulus of elasticity and the deasity vary as powers m and n. In the third chapter, the exact solutions of the bending vibrations of tapered beams are obtained by using Bessel Functi ons.A general method is developed for solving a fourth-order differential equation with variable coefficients. The fourth-or*: der equation (0.1) can be obtained by repeated operation of two second-order operators as follows: (0.8) Thus, the equation of motion of fte beam may be written in the form of Eq. (0.8). The solution of fq.(O.l) is obtained by solving the two second-order equations contained in the fourth-order equ ation. Those two second-order equations are transformed to the Bessel Differential Equation by applying some variable transfor mations. After substituing the I and A variations and X=x/L di- mensionless parameter to the equation' of motion, one obtains, where: m+n K=(Jd-)Z.L2(ü (0.9) (0.10) And after transformations »the second order equations come to Bes sel form.The addition of solution gives the general solution- rx *. in the fora,as follows:. ? ' -.2L Y{X}J:Xil[C10v(Q)^2Yv(s}tC3lv(a}4C4Kv(Si}]. (0,11) if vnnteger» - *' - 1. ' -. ?. - !fX).-Xv[C1Jv(ö)+C23`v(8}.C3y8)+C4î.v{8)] (0.12} if. v:non-integer» it where:' -v.., flaXVv- ` ' ?' (0.12),' *w »« -^ ;,'`': ' (0'-13)... Some examples ari. given to. the '.various beanLprofiles with msn*2.After applying boundary conditions for one end cantilever and the other end free,ohe obtains the frequency equation, where;. ' : 1 1 '-. YB2U?(f}û)T. :. (0.15) -;? ''?'?;?`;?'. `. ' 2 and to have the 'natural frequencies »from Ks.J and f*»'Şr » one obtains: ;. 1 ;,fr-^fe)^. ;(0-16) Eq,(0.14) has the Bessel Function terms`ün is the Bessel Function of the first kind and In is the modified Bessel Functic of the first kind. The solution of the frequency equation is ob tained by means of a computer program.The roots are obtained app lying Newton-Raphson method to the Eq. (0.14), and Subroutine Bes sel calculates the Bessel Functions.the frequency results for the beams having profiles of n=l,n»2 and n=1.5 are given at the end of this chapter., - _ ' /In' the fourth chapter*the approximate solutions are obtain ed by using Finite Difference Method. The central finite diffe rences are substitued in the Eq.(OJ) for the derivatives. The system of simultaneous algebraic equations obtained represents an ordinary boundary value problem. The solution of this boundary value problem, by finite differences reduces the integration of the Eq.(O.l) to the evaluation of the roots of the system of si multaneous algebraic equations. These roots are the values of the required solution at the pivotal points of its interval of defi nition. The derivatives appearing in the differential equation are expanded in terms of central differences8since the accuracy of these expansions is greater than the accuracy obtainable by la teral differences-. The numerical solution of the equation of motion consists in obtaining the numerical values of the unknown integral at so me pivotal points spaced along the x-axis for the differential, equation. To obtain the pivotal values of the integral Y«the de rivatives of the V function appearing in the differential equa tion are approximated by Taylor expansions of the unknown func tion Y. If the Eq.(0.9) is written in terms of the parameters ^ and 4, which control the depth and width variations,one obtains, Fi(X5^4 *? F?(X}â4 * F,(X)4-i =K2Y (0.14) 1 ûr l dXu d dX^ where t 24> F2(X)b2(*+3+)X' F3(X)=(t43*)(#3H)X: 2<H (0,15) 2 Then,we divide the x-axis of the beam to N equal parts and evaluate the central finite differences for each pivotal points. These differences for the second»third and fourth derivatives are,whera»» l1& the -nuAer &f pimm pûinüm the i-aKtesai«ti is ; - theapfcer e£ equal spacing /-/.... -..; ;.;;': Ftoaîîje,*» ebta% a jnatHx equation İiı'tfce.tjjfüf, -/ -,: where` m 1s wî: «atkx with W &*¦'#} örsten A i$/the «fr/O undary conditio^ #»fcft am* -: ^., *vr.V-, - ' *.'',` - - l > i ` * ' * - - Z1' * - ı i ~ ' 7 i`,`,v and H;;V/,%yr%^4'/û.'V^. ;;.'--.`A-,;'*^.v/^* fi.der ûriWJiS69#.17> tftmT $. itottrofT VA* H>v ^(>K^;^ ^,*> has Ö»e...,.,. _.,_: r^,TT^ T ^» «`,` solıjtlöns sff and öbI^ 1f the ıfe^minant. â *f` îs ç^mdlloti ¦'- >^- twhictr ıs a fımefcljm «f a) /& lde**tlcaîly ^m^e «tefifıa^V : mî equation,,. *. ^-/.-/:.*h*`.-: r i-%:-' * -^¦¦'.*. '.Çjf ? V`L,' - JV -. '.,5. t, 3 - `> ' r^A^^/, '- -: :K ^;,,/`; i v;; y>' ;¦}<&$$?£?%I XII is an algebraic equation whose roots approximations to the N characteristic values; A. This determinanta! equation was solved for using 40,60*80 pivotal points and the frequency constants (Kj) where obtained for the first five modes. Then9the (*$-#) extrapolations were applied and the frequency results showed 1% aggrement with the Bessel Function solutions. The corsputer programs were explained and the algorithm was given in the Ap pendix I, The frequency constants obtained for the 50 combinati ons of ip and tj> were given in the Appendix II. The modal functions corresponding to the frequencies were obtained by normalizing thesn according to the displacements of the free ends.SojN-1 simultaneous algebraic equations were sol ved by a computer program using Gauss-Jordan Method. The graphs of eigenfunction for the coîHbination of $ and. $ parameters we re plotted and analyzed in Use Chapter V. In the fifth chapter, the frequency values and normal modes are analyzed.The results obtained by the Bessel Functions and Finite Differences are compared. As a result» the transverse vibration of tapered beams for which the cross -sectional area and area moment of inertia v&ry along the beam according to any two arbitrary powers of the lon gitudinal coordinate, X,are treated by- exact and numerical met hods. The normal functions «natural frequencies and locations of nodes are obtained using a general approach.The approach used permits the. solutions to be expressed in terms of these two ar bitrary powers of X.The numerical, jnesults can thus be. obtained in general, with the two powers as varying parameters, instead of solving each case individually. The results of this investigati on may be used` to create a design chart, and ultimately to' permit. optimum profile design of beams under certain vibration const raints. The numerical results for the frequencies, show that the magnitude of fundamental frequency for cantilever beams increa ses when the beam taper either in width or thickness. The magni tude of the higher mode frequencies increases 'aş the taper on the width increases, that is, as ? increases. Also,the magnitude of the higher mode frequencies decreases as the taper on the thick ness increases, that is,as ^increases.¦jj-'',.V *' ' &-''$£ ` `> *y *''* ** ^ *`* /_&fj!~»f,,T-' '>. ' ` ffi ` `` `` **' T^ XIII The -present results can be extended to determine an opti mum taper «f the beam wîth respect to frequency. Since the gene* ral expressions for the frequency equations are aval aibfe» the expression for the.frequency can be considered as an iWBcit function of the parameters-^ and *.the frequency can be maxi mized in terms of # and $ for prescribed side conditions. A,/ V ' ',*afc» 1 #t';* *JIfri'»r« `^ *' <.. - *.,.*..V:3W»ff