Kenar ağlarında nokta yatay konumu inceliği

Abstract

ÖZET Gerek her boy uzunluğun doğrudan doğruya ölçülebilmesi ve gerekse ölçmelerde ^eodezik amaçlar için ön görülen doğruluk derecesinin sağlanabilmiş olması nedenleri ile Elektro-optik uzunluk ölçü aletlerinin ölçme işlerindeki kullanılışında ar tan bir yaygınlık görülmektedir. Bu yaygın kullanılışın ölçme işlemlerine etkisinin sonucu olarak, büyük ölçekli. harita ça lışmalarında, gerekli ve halen geçerli olan açı ağlarının ye rine kenar ağların kullanılması da yaygınlaşacaktır denebilir. Yalnızca kenarların ölçüldüğü yada kenar üçgenlerden olu şan kenar ağları, gözlenebilen bütün kenar uzunluklarının öl çülmesi ile serbest şekilli olarak, yada temel geometrik şekil ler olan köşegenli dörtgen ve santral şekilli kapalı çokgenler den veya her iki temel- şeklin birlikte oluşturması ile Geometrik şekilli olarak tesis edilebilirler. Kenar ağlarda kontrol noktalarının koordinatları, açı ağ larının aksine ve açısal değerler kullanılmaksızın, doğrudan doğruya, ölçülen kenarlar yardımı ile ve aşağıdaki bağıntılar yardımı ile hesaplanabilir: Yp = Y1+A.AY(1_2)+B.AX(1_2) lXp = X1+A.AX(1_2)-B.AY(1_2) yada Yp = Y2+(A-1).AY(1_2)+B.AX(1_2) xp = x2+(a-1).aX(1_2)-b.ay(1_2) Burada : Y1,X1,Y2,X2.Bilinen noktaların koordinatları Y..,X3.bilinmeyen noktaların koordinatları A =( S^ - S2 + S^ ) : 2 S, 1/2 B = [( S2 : S2 ) - A2]IV Böylece, koordinat hesabında, t.,,. açıklık açısı ve ke narlar yardımı ile üçgen açılarının bulunması ve hesap işle minde kullanılması gerekli değildir. Bir kenar üçgeninin bi linmeyen (P) noktasında oluşacak yatay konum hatası (m ) ise koordinatların hesaplanmasına ilişkin bağıntılardan üretile cek ve elektro-optik uzunluk ölçmelerindeki uzunluk ölçme hata sı (m ) ile W) kesişme açısının (3.16), (S.ve SJ ölçülen kenarların (3.17) ve (F) üçgen alanının (3.18) fonksiyonu ola rak: 1mP = İ İTİTT S/ ml2 + mS3 mp = tJ^/ S/) : [4S2 s/ - (S-2-S2 + S2g./m^+m^ S2`S3 / 2 2 mp = + (-2p- ) -J n^+m^ bağıntıları ile hesaplanır. Bu bağıntılara göre yatay konum hatası (m ), kenar hatası ir (m`TK) ve bağıl hata sayısı (KJK) sırasıyle, bir eşkenar üçgen de: S^S^S^S = 1000 m için : mp = + 16.3 mm nü..,, = + 23.1 mm KTt, = 43300 ve köşegenli kare dörtgende, (S1 = S2 = 1000 m),(S3 = 1000./Tm) için : mSM-2) ~ - 26-3mm K(1-2) = 38030 değerinde oluşurlar. Bilinmeyen (P) noktasında oluşacak (m ) yatay konum hata sının minimum değeri (mpmin) `. S2 = S3 T = ıoo9 koşulları ile sağlanır. Bu koşullar, kenar ağda oluşturulacakKenar üçgenlerinin - eşkenar dik üçgen - seklinde olmasının gerekliliğini belirler. Minumum yatay konum hatasının oluş tuğu bir ikiz kenar dik kenar üçgeninde S- = S3 = 1000 m için m_ = + 14.1 mm, in = + 20.0 mm. ve KT` = 43300 değerlerinde olurlar. JK Geometrik şekilli ağlarda, bütün arazi gruplarında yeter li olan (1:22000) bağıl hatalı bir incelik sağlanması için, santral şekilli kenar ağın ikiz kenar dik açılı yada eşkenar- lı (8-9) kenar üçgeninden, zincir şekilli kenar ağın ise (5) kare dörtgenden oluşturulması yeterlidir. Elektro-optik uzun luk ölçmelerindeki doğruluk derecesinin, uzunluğun büyümesi ile artacağı ve elektro-optik uzunluk ölçü aletlerinin özellikleri- de dikkate alınarak kenar ağın kenar uzunluklarının (1.5-3.0) km sınırları içinde bulundurulması uygun olabilir. Kenar ağların, açı ağlara nazaran bir kat, ekonomik üstün lüğü olduğu söylenebilir. Kenar ağlar, en küçük kareler prensibine dayanılarak, ser best şekilli ağlar dolaylı gözlemeler yöntemi ile geometrik şe killi ağlar koşullu dengeleme yöntemi ile dengelenirler. Geomet rik şekilli ağlarda koşul düzeltme denklemlerinin katsayıları, kolaylık sağlanması bakımından, ölçülen kenarlarla hesaplanan açısal fonksiyonlu olarak düzenlenebilir.

THE PRECİSSİON FOR THE HORIZONTAL POSITION OF THE POÎNT İN TRİLATERATÎON NET SUMMARY A marked expansion is being widely noticed in use of Electro- Optic distance measuring intruments in measuring works. This is due to the fact that these instruments both allow direct measure ment of lengths at any range and secure the degree of accuracy required for geodetic purposes in such measurements. As a result of impact this widespread use may effect on measurement works, there may be said that in large scale mapping works, in lieu of triangulation net which is mainstay at present, the use of trila teration net will see also an expansion. Pure trilateration shemes, which are formed of side triangles or of solely effected length of sides being measured, may be estab lished either in free-figure, where all lines are measured or in geometrical figure where use is being made of such basic geometri cal figure as braced quadrilateral or central polygon used either combined or individually. According to the present application in the trilateration networks, the side triangles, after the interior angles having been computed by using the measured sides by means of Weil-Known trigonometric ways, are firstly transfered into form of angle triangles and desired coordinates of the control points are then computed applying the same procedure being employed as in the triangulation networks. in this investigation, in order to compute the plane coordi nates of the control points by directly use the sides being mea sured by electro-optical means and without using the any angular value, a new computation method is suggested. The basic principle of this suggested calculation method is to calculate the coordinates of the intersection point of two circles having different centers and radius in the suitable form adequate for the geodetic purposes, in this suggestion, twoVII circles are positioned at two known points and their radius are the distances having been measured to the intersection point which is the unknown point to be determined. The coordinates of this unknown point (P) related to two known points of (1) and (2) can be directly computed througth relationships specifeid below in wich solely being measured sides are directly used: From point ( 1 ) : Y = Y.. + ( AY.A+ AX.B) X = X. + IAX.A- AY.B) P ' From point (2) : Y = Y0+ [AY. (A-1) + AX.Bl p 2 u X = X2+ [AX. (A-D- AY.B] Where : 2 2 2 2 2 S1 ~ S2 + S3 1 S2 S3 A =?-=?( 1-- +- 2 2-22 2S, S1 S1 B = / -4- - A2 - 2F 2 2 S1 S1 F =, Area of Triangle concerned AY=(Y2 - Yl) S, = S(1_2) S3 = S{1_p) AX=(X2 ` X,) S2 = S(2_p) Hence, it is seen throught above equations used in calculationVIII process, no horizontal angles necessary need be directly used because the lengths of sides are sufficient to compute the Coor dinates of Control point. When the interior angles of the side triangle are needed, however, the calculation of the interior angles can be calculated by speciefied equations below in which Coefficients of (A) and (B) are only used: oc = (21P) 1?= (P21) Sino< = B. (S.,:S3) Sin P = B. (S1 : S2) CoscxC = A. (S. :S3) Cos (3 = A. (S. :S2') Tgo< = (B:A) ' Tg $ = B:(A-1). T = 200-(<* + P) On the other hand, the computation of the coordinates of un known point (P) may also be performed (Î) the main coordinates system is shifted to the known point (1) so that X- direction should be indentical to the direction passing through the known points (1) and (2) and reduced coordinates of the unknown are computed and (2) the reduced coordinates are then transfered to the main coordinate system to obtain the required coordinate using the following relationships: 1) Y(1-3)= B,S1 X(1-3)` A-S1 or 2) *(1-3)= (S? * S2 + S3 ): 2S1 Y3 = Y1 + -İ- ( AY. AX + AX. A,Y )IX X3 = Y2 * ~§ - ( AX` AX ` tY' ûY ) According to the error propogation law, in a side triangle the horizontal position error (m ) to be occured at the un known (computed) point (P) will be obtained by the following general expression: m2p=K ?-£>- <*~>-<<v>2+ (i*r)2-(V2 in which (S.) are distances used to compute the coordinates of the unknown point. Accordingly, the horizontal position error occured at unknown point is stated by the following equations which are resulted after having been taken the par tial derivatives of the coordinate equations as the functions of the distances being measured of (S2) and (S»), the inter section angle (T) and area of the side triangle concerned: mp = + ^(AS22 S/) : O* s] -(s] - s/ + sf].J »* + m^ + 1__. LI + 2 SinT ' // S S, S^.S. - 4. 2 3 / 2 ^ 2 % ` İ 2F * ymS2+ mS3 Where : nu = a+b.ppm.S. According to these relationships, The horizontal position error (m ), side error ( nu ) and relative error coefficient P bJK (Kj ) would be, respectively, in an equilateral side triangle for ( S1 = S2 = S3 = 1000 m) : m_ = + 16.3 mm m_ = + 23.1mmKJK= 43300 and in a braced square quadrilateral for S-=S2= 1000 m and S3= lOOOyTm: M. = + 26.3 mm b(1-2) K(1-2) = 38038 The necessity of conditions for the minimizing of the horizontal position error (m_. ) are secured by two differen tiated condition equations of Oiil:3S.]=0 and (dm :dS^)=0. Solving these two condition equations simultanously, The con ditions for minimizing are obtained subject to the following conditions: (S* - S3).(1- - U- )= o J 4 Sin'Y S2 = S3 T = ioo9 These Conditions the necessity that side triangles have to be in the figure of isosceles right angle triangles. în a isosce les triangle in which minimum horizontal position error is occu- red for the sides of (s2=S3=1000 m) in length (m. = + 14.1 mm), fmg = + 20.0 mm)and(KJK= 43300). JK Since the field work of the establishing of trilateration sheme, the determination of the size and figure of the net may be carried-out by comparing the prerequisted (KjT) and obtained value (KJK) of side reached (S,K) by using the following relation ships: KJK- KJK m2S`'X4j + E^K JKXI In order to secure an accuracy with a relative error of (KJK=22000), which is adequate for all terrain classifications, the geometrical figured trilateration nets are sufficient to be established as a central point figure formed of (8^9) isosceles right angle triangles or as a chain figure formed of (5) braced square quadrilaterals. It may be found suitable for degree of accuracy in electro-optic distance measurement to improve with the increase of length and to keep the side lengths of trilate- rion net within ranges of (1.5) to (3.0) km, if account is given to properties the electro-optic distance measurement instruments bear. 1 Applying the principle of least square, the adjustment of trilateration net formed either free figured or geometrical figured are accomplished by the methods of either variation of coordinates or conditions respectively. In the adjustment of Geometrical figured trilateration net in which there will be one condition equation for each basic figure of braced quadrilatral and central figure poligon and in the form of the condition equa tion, this coefficients can be expressed as the fuctions of the angles computed by using measured distances and the area of triang les concerned. For the sake of convenience, however, the needed coefficients have to be recommended having been formed by angular values as follows: i) Condition equation for central figure -polygon : As.-Vs. + V- V + W = ° 11 11, Where : As = - - (Cotgo^ + Cotg $ ^ ) AD =+-g- (Cotgo^ + Cotg Ş ) i i w = 400 - [T] ii) Condition equation for braced quadrilateral : **2 +h~r2) * <°V+'P4 ~r4> =WXII Where : 1- (Cotg 31 + CotgoC4) D1 Di AD = -I- (Cotg Ş4 + Cotgc<3) As = ?- - (Cotg. S 2 + CotgOC.,) A = -- (Cotg (3 + CotgO< ) 2 2 for diagonals: AQ =g - (Cotg<X2, + Cotg P2 + CotgO<4 + Cotg j34) As =g - (Cbtg(i( 1 + Cotg (3 + Cotg(X3 + Cotg (2>3) 3 3 Generally, there may be stated that trilateration works have economic advantage over triangulation works at the rate of one fold.