Foult diagnosis in linear circuits; a parameter identification approach

Abstract

ÖZET LİNEER DEVRELERDE HATA TANİMA, PARAMETRE BELİRLEME YAKLAŞIMI Analog tüm devre teknolojisindeki hızlı gelişmeler binlerce elemandan oluşmuş çok küçük hacimli kıymıkların (chips) gerçekleştirilebilmesine olanak sağlamıştır. Bu gelişmeyle birlikte seri üretim sırasında hatalı çalışan kıymıkların ve bu kıymıkların hatalı olmasına yol açan hatalı elemanların saptanması problemi de gündeme gelmiştir. uzay çalışmalarında ve askeri amaçlı projelerde özellikle gerekli olan güvenilirlik de hata saptanması problemini son yirmi senedir üzerinde yoğun çalışmalar yapılan bir konu durumuna getirmiştir. Elemanın hatalı olması ile kastedilen elemana ilişkin parametrelerin nominal değerinden farklı herhangi bir değer almasıdır. Bilindiği gibi sayısal elemanlar için hata, sıfıra veya bire takılı olmak üzere iki durum ile kolayca belirtilir. Analog elemanlar için yukarıda verilen hata tanımı, hatalı analog elemanın hatalı sayı sal elemanın aksine kolaylıkla modellenemeyeceğini göstermektedir. Ayrıca analog devre, lineer olsa dahi devrenin çıkış büyüklüklerinin elemanların parametrelerinin lineer olmayan fonksiyonları oluşu analog devrelerde hata analizini sayısal sistemlerdekine göre daha zorlaştırır. Hata analizi üç aşamadan oluşur. Birinci aşama sınanan devrenin hatalı olarak çalışıp çalışmadığının anlaşılmasıdır. İkinci aşama hatalı elemanların saptanması ve üçüncü aşama da bu elemanlara ilişkin parametre değerlerinin hesaplanmasıdır. Bu konuda yapılan çalışmalar, ilgilenilen devrenin benzeşiminin deney öncesi veya sonrası yapılmasına göre iki ana gruba ayrılırlar. Hata sözlükleri yöntemi olarak isimlendirilen çalışmalar deneme öncesi benzeşim yöntemleri grubuna girer. Bu yöntemde ilk önce denenecek devrenin, görece hatalı olma olasılımı büyük olan elemanları tahmin edilir. Bundan sonra bu elemanlara ilişkin parametre değerlerinin değişik değerleri için devrenin çıkış büyüklükleri hesaplanır ve bir sözlükte bu değerler biriktirilir. Devrenin sınanması yapıldık tan sonra ölçülmüş büyüklükler bu sözlükteki değerlerle karşılaştırılarak parametre değerlerinin bulunması ger çekleştirilir. Bu yöntem çok uzun bir hesaplama zamanına gereksinim duyduğu için kaba bir yöntemdir. IVParametrelerin, belirlenmesi, yöntemi, ve- hata doğru lama yöntemi devrenin benzeşimi ölçümler yapıldıktan sonra kurulduğundan deneme sonrası benzeşim yöntemleri grubuna girerler. Parametrelerin belirlenmesi yönteminde yeterli sayıda akım ve gerilim ölçümleri yaparak bütün elemanların parametrelerinin hesaplanmasına çalışır. Tüm parametreler hesaplandıktan sonra elemanların nominal değerleri ile karşılaştırma yapılarak hatalı elemanlar bulunur. Bu yöntem kullanılan denklemlerin lineer veya lineer olmama sına göre ikiye ayrılır. Lineer olmayan denklemler genellikle bazı düğümlerden gerilim ve/veya akım uyarmaları ya da ölçmeleri yapılmadığı durumlarda ortaya çıkar. Böyle durumlarda lineer olmayan denklemlerin nominal değer civarında lokal olarak tek çözümü bulunabilir. Lineer denklemlerden ise parametrelerin global olarak tek çözüm leri, devrenin yapısına göre, tek ölçüm takımı veya çok ölçüm takımı kullanılarak hesaplanabilir. Hata doğrulama yöntemlerinde ise sınırla sayıda ölçü, yapılabildiği kabul edilir. Buna karşın bu yöntem de devrede ölçüm sayısından daha az sayıda elemanın hatalı olduğu varsayılarak hatalı elemanları içerebilecek eleman topluluklarının (hatalı bölgelerin) sadece yerleri belirlenir. Nominal devrenin benzeşiminden yapılan hesap lamalar ve hatalı devreden yapılan ölçmelerden hareket ile elde edilen, hatadan bağımsız olarak, değişmeyen bazı denklemlerin uyumlu olup olmadığının sınanmasıyla hataya neden olan farklı eleman grupları saptanır. Bu tezde incelenen konu parametrelerin tanınması yöntemleri grubuna girmektedir. Sunulan çalışma yeni olarak geliştirilen n tane matristen oluşan bir yapı - (n-pencil) kavramı üzerine inşa edilmiştir; herhangi bir devreye ve devre denklemlerin uygulanabildiğinden de genel bir yaklaşımdır. Bu kavram, kaynaklarda dinamik sistemlerin incelenmesi sırasında kullanılmaktadır ve sadece iki matristen oluşmuş olanları üzerinde çalışılmıştır. Kavramın genelleştirilip, parametre belirleme gibi farklı bir alana uygulanması ilk kez bu tezde yapıl maktadır. İlk bölümde hata saptama problemi tanıtılmış ve bu konuda var olan belli başlı önemli çalışmaların ana hatları verilmiştir. Bu kısa incelemeden de anlaşıla cağı gibi tezde yapılan çalışma parametre belirleme konusuna diğer yaklaşımlardan farklı bir bakış açısı getirmektedir. Bu tezde verilen yeni yöntem ile tek ölçüm takımı ve çok ölçüm takımı kullanarak parametrelerin tek olarak belirlenmesi için, sadece devrenin yapısına bağlı olan ve devreden kolaylıkla elde edile bilen, katsayılara ilişkin matrislerin sağlaması gereken cebirsel ve geometrik koşullar verilmiştir.İkinci bölümde bu yeni yaklaşıma neden gereksinim duyulduğu basit bir örnekle açıklanmıştır. Bu örnekten de görüleceği üzere aynı devre için yazılan düğüm ve çevre denklemlerinden parametrelerin belirlenmesi için farklı bilgiler elde edilmektedir. Bu yüzden alt bölüm 2. 2' de herhangi bir denklem takımına uygulanabilecek, hata analizine uygun bir formülasyon katsayı matrisleri cinsinden verilmiştir. Alt bölüm 2.2.1 *de ise parametrelerin tek çözülebilirliğinin, yukarıda sözü edilen n-matristen oluşan yapının sütun-düzgün olmasına eşdeğer olduğu gösterilmiştir. Bu aşamadan sonra sütun-düzgün olmaya eşdeğer koşullar aranmış ve iki cebirsel yöntem geliştirilmiştir. Alt bölüm 2. 2. 2 'de sütun-düzgün olma yan matris yapının sütunları arasında, n-değişkenli polinomlardan oluşmuş halka üzerinde, lineer bağımlılığın var olduğu gösterilmiş (theorem 2.3) ve bundan yararlanıp yapıyı oluşturan n tane matris kullanılarak ardışıl bir yöntemle elde edilen Toeplitz matrisinin tam sütun ranklı olmasının sütun-düzgünlüğü için gerekli ve yeterli olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, bu Toeplitz matris'nin elde edilmesi için farklı bir yöntem de çok boyutlu Z- dönüşümlerini kullanarak verilmiştir. Bu matrisin çok büyük boyutlu olmasına ve karmaşıklığına rağmen devre topolojisinden kolaylıkla elde edilebilen parametre kat sayı matrislerinden oluşturulması bu yöntemin bir üstünlüğüdür. Diğer bir üstünlüğü çok sayıda ölçüm verktörleri kullanarak parametre belirlenmesi durumuna da kolaylıkla uyarlanabilmesidir. Tek bir ölçüm vektörü ile parametre belirlenmesine çalışıldığı durumlarda yukarı da söz edilen Toeplitz matrisi kurulmadan önce verilen gerek koşullar denenmelidir. Bu koşullar katsayı matris lerinden kolaylıkla gözlenebilir. Alt bölüm 2. 2. 3* de çok değişkenli polinomsal en- terpolasyon geliştirilmiş ve n-matrisli yapının sütun- düzgün olmasına eşdeğer bir koşul verilmiştir, ölçüm vektörlerinin sayısı arttırılmca enterpolasyon yöntemi nin nasıl uygulanacağı incelenmeye açık bir sorudur. Alt bölüm 2. 3' de çok sayıda ölçüm vektörü kullanarak parametrelerin belirlenmesi sorunu ele alınmış ve bu problem gene aynı matris yapısı cinsinden ifade edilmiştir. Verilen yapıdan hareketle Toeplitz formundaki deneme matrisi elde edilebilir. Ama tanımdan da görülüceği gibi oluşturulacak matrisin boyutları çok büyük olacaktır. Burada uygun bir sadeleştirmenin olması tahmim edilmektedir. Çünkü, özellikle devre yeterli sayıda girişe sahip iken katsayı matrislerinin reel sayılar cismi üzerinde lineer bağımsız olmalarının gerekli ve yeterli olduğu gösterilmiştir. Bu şarttan anlaşılacağı üzere çok sayıda ölçüm vektörleri kullanarak parametrelerin tek olarak belirlenmesi için katsayı matrislerinin sağlaması gereken koşullar gevşemektedir, ölçüm vektörleri tek veya çok olduğu durumlarda para metrelerin tek olarak belirlenmesi için bir diğer gerek Vİve yeter koşul bu alt bölümde yer almaktadır. (Bazı gerek koşullar ve katsayı matrislerinden kolaylıkla gözlenebilen bir yeter koşul da ayrıca verilmiştir.) Parametrelerin belirlenmesi için çok sayıda ölçüm vektörünün zorunlu olduğu durumlarda bu vektörlerin lineer bağımsız olmalarının, ve bu ölçüm vektörlerini oluşturmak için devrenin lineer bağımsız giriş takımlarıyla uyarılmasının gerektiği gösterilmiştir' devrenin ayrıca hangi düğümlerden uyarılması gerektiği de bir inceleme konusudur. Alt bölüm 2. 4 'de aynı matris yapısı dinamik devrelerde parametre belirlenmesine uygulanmıştır. Tanımlanan yapıdan hareket ederek frekansa bağlı Toeplitz deneme matrisi elde edilebilir. Bu bölümde ayrıca para metrelerin tek olarak belirlenmesi için bir gerek koşul verilmiştir. Üçüncü bölümde n-matrisli yapının sütun-düzgün olmasına eşdeğer bir koşul geometrik dilde verilmiştir. Kaynaklarda bir matris çiftine ait karakteristik uzay ve karakteristik çekirdek uzayları cinsinden iki matris ten oluşmuş yapının sütun-düzgünlüğüne eşdeğer koşullar vardır. Bu yüzden bu bölümde amaç n-matrisli yapının sütun-düzgün olmasını 2-matrisli yapının sütun-düzgünlüğü cinsinden ifade etmek oluştur. (Alt bölüm 3.1' de kaynaklarda var olan ve özellikle tekil olan lineer dinamik sistemlerin incelenmesi sırasında kullanılan geometrik koşullar verilmiştir. Alt bölüm 3. 2 'de yine kaynaklarda iki değişkenli polinomlar için var olan `biçimini koru yan polinomlar (form preserving polynomials) ` tanımı n-değişkenli polinomlara geliştirilmiş ve x± değişkeni yerine X i konularak n- matrisli yapının sütun-düzgün olması bir değişkenli polinomsal matrisin stltun- düzgünlügü cinsinden ifade edilmiştir; bu da, söz konusu polinomsal matris özel bir forma getirilip, bir çift matrisin sütün-düzgünlüğüne dönüştürülmüştür. Dördüncü bölümde, bazı düğüm gerilimlerinin ve eleman akımlarının ölçülemedigi durumlarda parametrelerin nasıl belirleneceği incelenmiştir. Bu amaçla global kapalı fonksiyon teoremi tablo denklemlerine uygulanarak, problem gene aynı matris yapısıyla ifade edilmiştir. Tanımlanan yapıdan hareket edecek parametrelerin tek olarak belirlenmesi için bir gerek ve yeter koşul bölüm 2' deki gibi bir Toeplitz matrisi* nin tam sütun rank'lılıgı olarak verilebilir. Tek ölçüm kümesi için tanımlaran ve çok ölçüm kümesi için de verilen ifadeler devreden kolaylıkla elde edilebilir ve bunların sıfırı bol olan matrisler olmaları dikkate alınarak deneme matrisinin rankının hesaplanması hızlandırılabilir. Bu bölümde son olarak parametrelerin Vİİtek olarak belirlenmesi için bakımsız uyarı vektörlerinin sayısı üzerine bir takım sınırlar verilmiştir. Vİİİ