Semi-simetrik konneksiyonlu weyl manifoldları

Abstract

Bu çalışmada, semi-simetrik konneksiyonlu Weyl manifoldları incelenmiştir. Çalışmanın birinci bölümünde, Weyl manifoldları ile ilgili temel tanımlar ve özellikler hatırlatılmıştır. İkinci bölümde, Weyl manifoldu üzerinde semi-simetrik konneksiyon tanımı verilerek, böyle bir konneksiyonla tanımlı Weyl manifoldu WS ile, simetrik konneksiyonla tanımlı Weyl manifoldu ise W ile gösterilmiştir. WS- manifoldunun eğrilik tensörü bulunduktan sonra aşağıdaki teoremler elde edilmiştir: Teorem 1: W ve WS-manifoldları aynı eğrilik tensörüne sahip iseler, S/ vektörü gradienttir. Teorem 2: WS-manifolduna ait semi-simetrik konneksiyon lokal-düz ise, Tk vektörü gradienttir. Teorem 3: WS-grup manifoldu lokal-düzdür. Üçüncü bölümün ilk kısmında, WS-manifoldlarına konform dönüşüm uygulanarak, eğrilik tensörünün bu dönüşüm altında nasıl değiştiği incelenmiş ve konform eğrilik tensörü bulunmuştur. WS-manifoldunda konform eğrilik tensörü ile ilgili olarak aşağıdaki teoremler elde edilmiştir: Teorem 4: W ve WS-manifoldlarına ait konform eğrilik tensörleri aynıdır. Teorem 5: WS-manifolduna ait semi-simetrik konneksiyon lokal-düz ise, manifold konform-düzdür. Teorem 6: WS-grup manifoldu konform-düzdür. Üçüncü bölümün ikinci kısmında ise, WS-manifoldlarına projektif dönüşüm uygulanarak, projektif eğrilik tensörü bulunduktan sonra W ve WS-manifoldlarının projektif eğrilik tensörleri arasında bir bağıntı elde edilmiştir. WS-manifoldunda, projektif eğrilik tensörü ile ilgili olarak aşağıdaki teoremler verilmiştir: Teorem 7: WS-manifolduna ait semi-simetrik konneksiyon lokal-düz ve Sk vektörü gradient ise, konneksiyon projektif-düzdür. Teorem 8: WS-grup manifoldunda, simetrik ve semi-simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörleri aynıdır. Teorem 9: WS- grup manifoldu ve bu manifold üzerinde tanımlanan semi-simetrik konneksiyon projektif-düzdür. Teorem 10: WS-grup manifolduna ait konform eğrilik tensörü ve projektif eğrilik tensörü aynıdır. Çalışmanın son bölümünde ise, genelleştirilmiş rekürant WS-manifoldları ele alınmıştır. Önce rekürant ve genelleştirilmiş-rekürant WS- manifold tanımları yapılmış, daha sonra bu manifoldlar arasındaki ilişki incelenmiştir. Genelleştirilmiş- rekürant Einstein tensörüne sahip WS-manifoldu, genelleştirilmiş konform-rekürant WS-manifoldu ve genelleştirilmiş projektif-rekürant WS-manifoldu tanımlarıverildikten sonra; W ve WS-manifoldlarına ait eğrilik tensörü, konform eğrilik tensörü, projektif eğrilik tensörü ve Einstein tensörünün semi-simetrik konneksiyona ve simetrik konneksiyona göre kovaryant türevleri arasındaki ilişkiler bulunarak, şu teoremler elde edilmiştir: Teorem 11: Genelleştirilmiş-rekürant WS-manifoldu, genelleştirilmiş-rekürant Einstein tensörüne sahip WS-manifoldudur. Teorem 12: Genelleştirilmiş-rekürant WS-manifoldu, genelleştirilmiş konform- rekürant WS-manifoldudur. Teorem 13: Genelleştirilmiş-rekürant WS-manifoldunda Sk vektörü gradient ise, manifold genelleştirilmiş projektif-reküranttır. Teorem 14: WS-grup manifoldunun genelleştirilmiş konform-rekürant olabilmesi için gerek ve yeter şart: genelleştirilmiş projektif-rekürant olmasıdır. Teorem 15: Semi-simetrik konneksiyona göre rekürant Sij tensörüne sahip rekürant WS-manifoldu, genelleştirilmiş-rekürant W-manifoldudur. Teorem 16: Konform-rekürant WS-manifoldu, genelleştirilmiş-rekürant W- manifoldudur ve konform-rekürant W-manifoldu, genelleştirilmiş-rekürant WS- manifoldudur. Teorem 17: Semi-simetrik konneksiyona göre rekürant Sij ve Kij tensörlerine sahip projektif-rekürant WS-manifoldu, genelleştirilmiş projektif-rekürant W- manifoldudur. Teorem 18: Semi-simetrik konneksiyona göre rekürant Sij tensörlü rekürant- Einstein tensörüne sahip WS-manifoldu, genelleştirilmiş-rekürant Einstein tensörüne sahip W-manifoldudur.

In this work, Weyl manifolds with semi- symmetric connection are examined. In the first chapter, the fundamental definitions and properties about Weyl manifolds are given. In the second chapter, by giving the definition of semi-symmetric connection on the Weyl manifold; this manifold is denoted by WS and the Weyl manifold defined with a symmetric connection is denoted by W. After finding the curvature tensor of WS-manifold, the following theorems are obtained: Theorem 1. If W and WS-manifolds have the same curvature tensors, then the vector Sk is gradient. Theorem 2: Semi-symmetric connection defined on the WS-manifold is local-flat, then the vector Tk is gradient. Theorem 3: WS-group manifold is local-flat. In the first part of the third chapter, by applying conformal transformation to the WS- manifolds, the changing of the curvature tensor under this transformation is examined and conformal curvature tensor is obtained. In the WS-manifolds, the following theorems are given: Theorem 4: Conformal curvature tensors of W and WS-manifolds coincide. Theorem 5: If semi-symmetric connection defined on the WS-manifold is local-flat, then manifold is conformal-flat. Theorem 6: WS-group manifold is conformal-flat. In the second part of the third chapter, by applying projective transformation to the WS-manifolds, the projective curvature tensor is obtained and a relation between projective curvature tensors of W and WS-manifolds is found. After, the following theorems about projective curvature tensor on the WS-manifolds are given: Theorem 7: If semi- symmetric connection defined on the WS-manifold is local-flat and the vector Sk is gradient, then connection is projective-flat. Theorem 8: Projective curvature tensors with respect to symmetric and semi- symmetric connections on the WS-group manifold coincide. Theorem 9: The WS-group manifold and the semi-symmetric connection defined on this manifold are projective-flat. Theorem 10: Conformal curvature tensor and projective curvature tensor defined on the WS-group manifold coincide. In the last part of the work, generalized-recurrent WS-manifolds are examined. At first, the definitions of recurrent and generalized-recurrent WS-manifolds are given. Later, the relation between these manifolds are obtained. After by giving the definitions of WS-manifold with generalized- recurrent Einstein tensor, vgeneralized conformal-recurrent WS-manifold and generalized projective-recurrent WS-manifold, the relations between covariant derivatives of curvature tensor, conformal curvature tensor, projective curvature tensor and Einstein tensor with respect to semi-symmetric connection and symmetric connection are found and the following theorems are obtained: Theorem 1 1 : Generalized-recurrent WS-manifold is WS-manifold with generalized- recurrent Einstein tensor. Theorem 12: Generalized-recurrent WS-manifold is generalized conformal-recurrent WS-manifold. Theorem 13: If the vector Sk is gradient in the generalized-recurrent WS-manifold, then the manifold is generalized projective-recurrent. Theorem 14: The WS-group manifold is generalized conformal-recurrent if and only if it is generalized projective-recurrent. Theorem 15: Recurrent WS-manifold where the tensor Sij is recurrent with respect to the semi-symmetric connection is generalized-recurrent W-manifold. Theorem 16: Conformal-recurrent WS-manifold is generalized-recurrent W-manifold and conformal-recurrent W-manifold is generalized-recurrent WS-manifold. Theorem 17: Projective-recurrent WS-manifold where the tensors Sij} and Kij are recurrent with respect to the semi-symmetric connection is generalized projective- recurrent W-manifold. Theorem 18: WS-manifold with recurrent Einstein tensor where the tensor Sij is recurrent with respect to the semi- symmetric connection is W-manifold with generalized recurrent Einstein tensor.