Sonlu ve sonsuz küçük teorilere göre düzleminde yüklü dairesel çubukların hesabı

Abstract

SONLU VE SONSUZ KÜÇÜK TEORİLERE GORE DÜZLEMİNDE YÜKLÜ DAİRESEL ÇUBUKLARIN HESABI ÖZET Günümüzde çubuk elemanlar, yapının her alamnda karşımıza çıkmaktadır. Uygulamalarda bu elemanların çözümü lineer teoriye göre gerçekleştirilmekte olup, Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanılarak nonlineer olarak da çözümler elde edilmektedir. Lineer teoride, çubuk yer değiştirmelerinin çubuğun kalınlığına göre küçük olduğu kabul edilir ve denge denklemlerinde çubuğun şekil değiştirmemiş hali kullanılır. Genellikle yapılarda kullanılan çubuk elemanların yaptığı yer değiştirmelerin, diğer boyutlarının yanında çok küçük olması lineer teorinin geçerli olduğunu gösterir. Fakat bazı yapı elemanlarının (ince çubukların) yaptığı yer değiştirmeler ihmal edilemeyecek kadar büyüktür. Bu durumda lineer teori ile yapılan çözüm gerçeği yansıtmamaktadır. Bu nedenle, çubukların doğrusal olmayan (nonlineer) davranışlarının araştırılmasının gerekliliği ortaya çıkmıştır. Nonlineer teoride, büyük yer değiştirmeler ve dönmeler söz konusu olduğundan, ikinci ve daha yüksek mertebeden terimler ihmal edilmeyip, denklemler çubuğun şekil değiştirmiş hali üzerinden yazılır. Sonuç da elde edilen denklemler nonlineerdir. Bu çalışmada kendi düzleminde yüklü dairesel çubuklara ait sonlu ve sonsuz küçük yer değiştirmeler, dönmeler ve kesit tesirlerine ait bileşenler hesaplanmıştır. Tüm tez çalışmasında Fortran Power Station ve Mathematica programlan kullanılmıştır. Düzleminde yüklü, sabit kesitli dairesel çubuğa ait temel denklemler aşağıda verilmiştir. ^-un=0 (1) de n - +ut-pQb=0 (2) de b J ^-p^ = 0 (3) de K Db w ^+pT`=-pmb (4) de dTn de dj^ de + Tt=-ppn (5) -T`=-ppt (6) Burada, u, teğet doğrultudaki yer değiştirmeyi, un normal doğrultudaki yer değiştirmeyi, Q.h binormal doğrultudaki dönmeyi, Tt teğet doğrultudaki kesme kuvvetini, Tn normal doğrultudaki kesme kuvvetini, Mb binormal doğrultudakimomenti göstermektedir, p, ve pn ise teğet ve normal doğrultudaki yayılı yüklerdir. mb binormal doğrultudaki yayılı momenttir. Db eğilme rijitliğidir. Dairesel çubuklar için ds yay elemanı, dairenin p yarıçapı ve d0 merkezi açı değişimi cinsinden aşağıda verilmiştir. ds = p.d0 (7) Kendi düzleminde yüklü, değişken kesitli dairesel çubuğa ait temel denklemler de aşağıda belirtildiği gibidir. ^-un-p(CosQb-l) = 0 (8) dö dun de ^-p^ = 0 (10) de hd` + pTnCosQb-pTtSinflb=-pmb (11) + ut-pSinQb=0 (9) dMb de dTn de de +Tt=-ppn (12) -Tn=-pp, (13) Temel denklemlerdeki ifadeleri boyutsuz hale getirmek için aşağıdaki boyutsuzlaştırma ifadeleri verilmiştir. (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) XI«n=^Pn (22) Burada f(6) kesit değişimini ifade etmektedir. Örnek 3 ve Örnek 4 için, f(8) fonksiyonu aşağıda verilmiştir. f(8) = 2-Cos8 (23) Boyutsuzlaştırma ifadelerini kullanarak lineer temel denklemleri homojen olarak yazarsak ^-v`,=0 (24, dv ^+vtI-QbI=0 (25) de dQbI-îlb,f(e) = 0 (26) de + tnl=0 (27) dTlbi de *-+tt,=0 (28) ^-tnl=0 (29) de elde ederiz. Yine boyutsuzlaştırma ifadelerini kullanarak nonlineer temel denklemleri de homojen olarak düzenlersek ^-Vnn-CosQbn+l = 0 (30) de dv ^+vto-SinQbn=0 (31) de (32) olur. (33) (34) (35) Farklı sınır koşullan için dairesel çubuk sisteminin çözümünde Fortran Power Station programı ile program geliştirilmiştir. Daha sonra ise Mathematica programının yardımıyla nonlineer ve lineer çözümler karşılaştınlmıştır. xııBu çalışmada iki tür problem ve çözümü verilmiştir. Birinci problemde iki ucu ankastre, orta noktasından düşey P tekil yüküyle yüklü bir dairesel çubuk çözülmüştür. 6 = 0 için, binormal doğrultudaki dönme ve teğet doğrultudaki yer değiştirme sıfıra eşit olur. Kesme kuvveti ise -P/2 olur. Diğer üç başlangıç koşuluda aşağıdaki şartlar kullanılarak elde edilebilir. «b(ît/2) = 0, ut(ıt/2) = 0, un(ît/2) = 0 (36) Başlangıç koşullan bulunduktan sonra (24)-(29) ve (30)-(35) denklemleri kullanılarak problem çözülür. Daha sonra uygun yaklaşık fonksiyonlar seçilerek çözüm basitleştirilir, sonrasında nonlineer ve lineer çözüm sonuçlan aynı grafikte çizilir. Farklı P tekil yükü için iki eğri karşılaştmldığında nonlineer çözüm sonuçlannın farklı çıktığını görürüz. Bu durumda nonlineer teoriye göre elde edilen çözümler gerçekçidir. Aynı şekilde ikinci problemde değişken kesit için çözülmüştür. Çalışma boyunca Mathematica, Fortran Power Station, Ms Office Word, Ms Office Excel, AutoCAD 2000, Math Type programlan kullanılmıştır. xm

CALCULATION OF CIRCULAR RODS IN FINITE AND INFINITESIMAL THEORIES FOR IN-PLANE LOADING SUMMARY One of the structural elements most widely used in buildings is the rod. Generally, these elements are analysed by linear theory. Also the nonlinear solutions have been obtained by using Finite Element Method. According to the linear theory, it is assumed that the displacements of these rods are very small compared to the thickness of the rods. In this way, the equilibrium equations are written on the undeformed shape of the rod. As the displacements of the frame elements are small compared to the other dimensions of the elements, the linear theory is valid. However, the displacements of some structural elements (like thin rods) are so large that can not be neglected. In this case, the solution obtained by linear theory is not realistic. In this way, the nonlinear behaviour of the frame elements must be considered in the analysis. In the nonlinear theory, when large deflections and rotations occur second and higher order terms should not be neglected and equilibrium equations are written on deformed shape of the rod. Then the resultant equations are nonlinear. In this work, the components of the finite and infinitesimal displacements, rotations and stress resultants (due to in-plane lodaing) of circular rods were derived. In this thesis the program Fortran Power Station and the program Mathematica are used throughout. The basic equations of a circular rod with constant cross-section for in- plane loading are (1) (2) (3) (4) (5) (6) d9 where ut is the displacement components along the tangent; un is the displacement components along the normal; Qh is the rotation around the binomial; Tt is the shear force along the tangent; Tn is the shaer force along the normal and Mb is the moment around the binormal. pt and pn are distributed loads, respectively, along xivthe circumferential and radial directions with respect to the circle. mb is distributed bending couple. Db is the bending rigidity. For the case of circular rods the element of arc length ds can be expressed in terms of radius p and the increment of the central angle d6 as ds = p.d9 (7) The main equations of a circular rod with variable cross-section in-plane loading are given below. ^-u`-p(CosQb-l) = 0 (8) do dUn de + ut-pSimQb = 0 (9) ^-p^ = 0 (10) de fd` ^^+pTnCosQb-pTtSinQb=-pmb (11) do dT` de dTt + T,=-pp» (12) -Tn=-pp, (13) de The following dimensionless quantities are defined for convenience: (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) xva`=7^P` (22) where f (8) expresses the change in the cross-section. For problem 3 and problem 4, f (0) function is given below. f( 9) =2- Cos9 (23) In terms of dimensionless quantities linear homogeneous equations become (24) (25) (26) (27) (28) (29) Also in terms of dimensionless quantities nonlinear homogeneous equations become dv de dv »-v^-Cos^+l^O (30) nn de +vtn-SinQbn=0 (31) ^-i!bnf(e) = 0 (32) de ^+ tnnCosnbn - ttnSinObn = 0 (33) ^+^=0 (34) dt tn de (35) A Fortran Power Station program has been formed for solving the circular rod system for different boundary conditions. Then the nonlinear solutions are compared with the linear solutions by using the program Mathematica. In this paper two type solved problem are given. At first problem, the circular rod built-in at both ends, loaded by a singular vertical force P is solved. At Q = 0 the binormal rotation and the tangential displacement are equal to zero. The shear force is -P/2. The other three initial values can be obtained by using the following conditions. XVIOb (n/2) = 0, ut(7i/2) = 0, un(rc/2) = 0 (36) After finding the initial values, the problem is solved by using (24)-(29) and (30)- (35). Then approximate polynomials are fitted for simplicity. Then the nonlinear and linear results are drawn together. By the comparison of the both curves for different singular vertical force P we reach the conclusion that the nonlinear solutions are different. In this case, the solutions obtained by nonlinear theory is realistic. Second problem is solved similarly for variable cross-section. In this work, Mathematica, Fortran Power Station, Ms Office Word, Ms Office Excel, AutoCAD 2000, Math Type are used. XVll