Wave propagation in an elastic medium: Generalized Davey-Stewartson equations

Abstract

Bu çalışmada, sonsuz, homojen, zayıf nonlineer ve zayıf dispersif elastik bir ortamda (2+1) (iki uzay ve bir zaman) boyutlu dalgaların modülasyonu incelenmiş, asimptotik davranışı tanımlayan (2+1) boyutlu nonlineer evolüsyon denklemleri türetilmiştir. Denklemler türetilirken indirgeyici pertürbasyon yöntemi olarak adlandırılan bir asimptotik yöntem kullanılmış ve dalgaların modülasyonu probleminin üçlü bir nonlineer kısmi diferansiyel denklem sistemi ile karakterize edildiği gösterilmiştir. Bu denklemler, bir kısa enine dalga, bir uzun enine dalga ve bir uzun boyuna dalga olmak üzere üç dalganın etkileşimlerini içermiş ve ?genelleştirilmiş Davey-Stewartson? (GDS) denklemleri olarak adlandırılmıştır. Parametre değerlerinin bazı kısıtları altında, GDS denklemlerinin nonlineer Schrödinger denklemine veya Davey-Stewartson denklemlerine indirgendiği gösterilmiştir. Diğer yandan, uzun-dalga kısa-dalga rezonans durumu için GDS denklemlerinin geçerli olmadığı gözlenmiş, uzun boyuna dalganın faz hızının kısa enine dalganın grup hızına eşit olduğu halde problemi karakterize eden ve uzun-dalga kısa-dalga etkileşim denklemleri olarak adlandırılan yeni evolüsyon denklemleri türetilmiştir. Ayrıca, GDS denklemlerinde beliren katsayılardan birinin sıfır olması durumunda elde edilen dejenere GDS denklemleri ele alınmıştır. Son olarak, GDS denklemlerinin, uzun-dalga kısa-dalga etkileşim denklemlerinin ve dejenere GDS denklemlerinin bazı özel çözümleri farklı yöntemler (Jacobi eliptik fonksiyonlar, tanh yöntemi, değişkenlere ayırma yaklaşımı) kullanılarak elde edilmiştir.Anahtar Kelimeler: Nonlineer elastik dalga yayılımı, genelleştirilmiş Davey-Stewartson denklemleri, gezen dalga çözümleri.

In the present study, the problem of (2+1) (two spatial and one temporal) dimensional nonlinear wave modulation is considered in an infinite, homogenous, weakly nonlinear and weakly dispersive elastic medium and (2+1) dimensional nonlinear evolution equations are derived describing the asymptotic behavior. While deriving the equations an asymptotic technique called reductive perturbation method is used and it is shown that the problem of wave modulation is characterized by a system of three nonlinear partial differential equations. These equations involve interactions of a free short transverse, a free long longitudinal and a free long transverse wave modes, and are called the `generalized Davey-Stewartson? (GDS) equations. Under some restrictions on parameter values, it is shown that the GDS equations reduce to the well-known Davey-Stewartson and to the nonlinear Schrödinger equations. On the other hand, it is observed that the GDS equations are not valid for the long-wave short-wave resonant case. In the case where the phase velocity of the long longitudinal wave is equal to the group velocity of the short transverse wave, new evolution equations are derived characterizing the problem and are called long-wave short-wave interaction equations. Besides, degenerate GDS equations, which are obtained when one of the coefficients of the GDS equations becomes zero, are considered. Finally, some special solutions of the GDS equations, the long-wave short-wave interaction equations and the degenerate GDS equations are obtained by using various methods (Jacobian elliptic functions, tanh method, variable separation approach).Keywords: Nonlinear elastic wave propagation, generalized Davey-Stewartson equations, travelling wave solutions.