Radical, nilradical and classical prime submodules

Abstract

Halka teorisinde bir radikalin ideali için bilinen tanımlamayı modüllere genellediğimiz zaman bir alt modülün asal radikali ve bir alt modülün zarfı tarafından üretilen alt modül kavramları karşımıza çıkmaktadır. Bu iki kavramın hangi modüller için birbirine eşit olduğu son yirmi yıldır üzerinde çalışılan problemlerden biridir. Bu kavramlar ile ilişkili olarak Shing Hing Man tarafından her yarı asal alt modülü asal alt modüllerin kesişimi olarak yazılabilen değişmeli Noether halkalar için bir tanımlama belirlenmiştir. Bu durumda akla gelen ilk soru `Hangi şartlarda her yarı asal alt modül klasik asal alt modüllerin kesişimi olarak yazılabilir?` olacaktır. Bu çalışmanın ana amaçlarından bir tanesi bir alt modülün zarfı tarafından üretilen alt modülün hesaplanması için bir yöntem geliştirebilmektir. Ayrıca M modülü Noether olduğu durumda N yarı asal alt modülünün klasik asal alt modüllerin kesişimi olarak yazılabilmesi için N ve M modüllerinin sahip olması gereken şartlar belirlenmeye çalışılmıştır.

Prime radical of a submodule and the submodule generated by the envelope of a submodule are the notions which are come out when the well-known characterization of the radical of an ideal generalized to modules over commutative rings. The question of in which modules prime radical and the submodule generated by envelope is the same has been studied by many authors for the last twenty years. Shing Hing Man gave the characterization of commutative Noetherian rings in which every semiprime submodule is an intersection of prime submodules. The certain question one would like to think of is `Under which circumstances every semiprime submodule can be written as an intersection of classical prime submodules?`. One of the main objectives of this study is to find a formula to determine the submodule generated by the envelope. Also the conditions on the semiprime submodule N, when M is Noetherian, such that N can be written as an intersection of classical prime submodules are determined.