An application of the finite differences method to a dynamical interface problem

Abstract

ÖZET Son zamanlarda, yüzey merkezli kübik yapı üzerindeki anizotropik Cu-Au sistemi için bir çoklu durum parametresi modeli geliştirilmişti. Modelde, üç du rum parametresi (korunan) ve sabit alınmış bir konsantrasyon durum parametresi (korunmayan) ele alınmıştı. Daha sonra bu model, konsantrasyon durum parame tresinin değişken alınması suretiyle genişletilmiştir. İlk modelin ve genişletilmiş modelin, korunmayan durum parametresinin sabit gibi davranmasından dolayı, kritik sıcaklıkta iyi bir uyum gösterdikleri gözlenmiştir. Bu çalışma kritik sıcaklıkta yapılmış ve çalışmada ilk model, dinamik bir arayüzey problemine genişletilmiştir. Sistemin enerjisi durum parametrelerine bağlı olarak yazıldıktan sonra, enerjinin durum parametrelerine göre minimize edilmesi ve Langevin denklem- leriyle, doğrusal olmayan parabolik denklem sistemi elde edilmiştir. Bu den klem sistemini çözmek için sisteme sonlu farklar yöntemi uygulanmıştır. İleri sonlu fark ayrıklaştırılması, çözümün zamana göre türevine; merkezi sonlu fark ayrıklaştırılması ise çözümün uzaysal değişkene göre ikinci türevine uygulanmıştır. Kararlılık şartları ve hata sınırları elde edilmiştir. Zaman ilerledikçe, yöne bağlı profiller, arayüzey enerjisinin değişimi ve anizotropi derecesinin yayılım arayüzeyinin genişliğine olan etkisi betimlenmiştir. v

ABSTRACT A multiple-order-parameter model for Cu-Au system on a face cubic cen tered lattice was recently developed in the presence of anisotropy. In that model, three order parameters (non-conserved) and one concentration order parameter (conserved), which has been taken as a constant, were considered. Later on, the model has been extended, so that, concentration has been taken as a variable. It has been seen that two models were in a good agreement near critical tempera ture since the non-conserved order parameter behaves like a constant near critical temperature in both models. Thus, we extended the first model to a dynamical diffuse interface model near critical temperature. After writing the free energy of the system in terms of the order parame ters, minimizing the energy with respect to the order parameters and Langevin equation yield the non-linear system of parabolic equations. The finite differences method was implemented to solve this non-linear system of parabolic equations. The forward difference discretization was applied for the first derivative of the solution with respect to time and centered difference discretization was applied for the second order derivative of the solution with respect to spatial variable. We obtained stability criteria and find the error bound. The orientation depen dence profiles, variation of interfacial energy and the effect of the degree of the anisotropy on the width of the diffuse interface are simulated when the time evolves. IV