Sayısal analizde yaklaşık çözüm yöntemleri

Abstract

Bu çalışmada, nümerik analizdeki yaklaşık çözüm bulma yöntemlerinden biri olan Adomian Ayrıştırma Metodu başlangıç ve sınır değerleri ile verilen diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için kullanılmıştır. Bu sayısal metot bir seri çözüm yöntemidir. Lineer ve lineer olamayan cebirsel diferansiyel denklemlere uygulanır. Bu metotta lineer ve lineer olamayan terimleri içeren herhangi bir nonlineer (lineer olamayan)diferansiyel operatörünün etki ettiği denklem sistemi ele alınmaktadır. Bu operatörün etki ettiği fonksiyonun oluşturduğu denklem sisteminin çözümü bulunmaya çalışılır. Ele alınan diferansiyel denklem lineer kısım, lineer olamayan kısım ve denklemdeki en yüksek mertebeden türev olmak üzere parçalara ayrılır. Bu ayrışmada en yüksek mertebede türev operatörü ve tersi esas alınarak, ayrışmadaki ters türev operatörü denklem sisteminin her iki tarafına sol taraftan uygulanır. Böylece denklemin çözümü uygun türev operatörleri ile algoritmaya bağlanır ve seri halindeki terimlerden oluşan bir iterasyon elde edilir. Bu iterasyonda, başlangıç verisi kullanılarak çözümü aranan seri toplam halindeki denklemin çözüm fonksiyonunun sıfır indisli bileşeni hesaplanır. Bu sıfır indisli bileşen iterasyonda yerine yazılıp birinci çözüm bileşeni hesaplanır. Birinci çözüm bileşeni iterasyonda yerine yazılıp ikinci çözüm bileşeni hesaplanır. Bu şekilde devam edilerek belli iterasyonda veya adımda denklemin yaklaşık çözümü, belli sayıda çözüm bileşenlerinin toplamı ile elde edilir. Bu çalışmada Adomian Ayrıştırma Metodu temel matematiksel tanımlar, teoremler, integral hesabı ve analiz yardımı ile başlangıç değerleri ile verilen adi diferansiyel denklem sistemlerine ve başlangıç ve sınır değerleri ile verilen kısmi diferansiyel denklemlere uygulanmıştır. Böylece bu sayısal metodun çözüme hızlı bir şekilde yakınsadığı ve pratik olduğundan sayısal işlemlerde zaman kazandırdığı anlaşılmıştır.

In this study Adomian Decomposition Method being a serial decomposition method in numerical analysis was used to find solutions of linear and nonlinear differential equations given with initial and boundary conditions. This method makes a series summation and it is applied to linear and nonlinear differential equations. In this method, a nonlinear differential operator which consists of linear and nonlinear terms has domain on the considered system of equation and it is tried to find solution of the function of this system by making decomposition. System of equation is partitioned into linear part, nonlinear part and the highest order derivative in equation. In this decomposition the highest ordered derivative operator and its inverse are considered . Inverse derivative operator is applied to both sides of equation on left side. So that solution of equation is attached to an algorithm by appropriate derivative operators and an iterative series of terms is constituted. In this iteration, solution component of the equation with zero index is calculated by initial condition. Later, first solution component of the equation is calculated by the solution component with zero index . Next, second solution component of equation is calculated by first solution component. Continuing in this fashion, the approximate solution of the equation is obtained with summation of finite number of terms in currant iterations. Hence in this work Adomian Decomposition Method was applied to ordinary differential equations and partial differential equations given with initial and boundary conditions. So it was understood that this method approximate to solution fast.