Non integer order derivatives

Abstract

Bu tezde tam olmayan mertebeli türevler incelenmi ve bunların uygulamalarıüzerine birkaç örnek verilmitir. Üç bölüm halinde tam olmayan mertebeli türevleringenel tanımları verilmitir. Bu tanımların birbirlerine göre avantaj ve dezavantajlarıtartıılmıtır. Bu konunun Leibnizt'e uzanan detaylı bir geçmii vardır. Birçok ünlümatematikçi bu konu üzerinde çalımıtır. Bu çalımaların derlemesinden oluankullanılan kaynaklar tezin sonunda verilmitir. Çalımanın birinci bölümündebahsedilen türev tanımlarından ilki olan Grünwald-Letnikov tanımı verilmitir. kincibölümde Riemann-Liouville tanımı üzerinde çalııldı. Üçüncü bölümde Caputotanımından bahsedildi.Bu tanımla birlikte bütün verilen tanımlar karılatırıldı. Dahasonra türevdeki en önemli özelliklerden biri olan Leibnitz kuralı ispatlandı. Eklerkısmında türev tanımlarında ihtiyaç duyulan Gamma fonksiyonlarının bazı özellikleriverildi. Ayrıca bu eklerde tomografi cihazında deneysel olarak daha iyi sonuç verenrasyonel mertebeli türev uygulaması ve Bessel denkleminin rasyonel mertebelidönüümler kullanılarak çözümünü veren bazı çalımalar da bulunmaktadır.

This thesis is devoted to integrals and derivatives of arbitrary order andapplications of the described methods in various fields. This study intends to increasethe accessibility of fractional calculus by combining an introduction to the mathematicswith a review of selected recent applications in physics. It is described generaldefinitions of fractional derivatives. This definitions are compared with their advantagesand disadvantages. Fractional calculus concerns the generalization of differentiation andintegration to non-integer (fractional) orders. The subject has a long mathematicalhistory being discussed for the first time already in the correspondence of G. W.Leibnitz around 1690. Over the centuries many mathematicians have built up a largebody of mathematical knowledge on fractional integrals and derivatives. Althoughfractional calculus is a natural generalization of calculus, and although its mathematicalhistory is equally long, it has, until recently, played a negligible role in physics. In thefirst chapter, Grünwald-Letnikov approache to generalization of the notion of thedifferentation and integration are considered. In the second chapter, the Riemann ?Liouville definition is given and it is compared with Grünwald-Letnikov definition. The lastchapter, Caputo?s definition is given. In appendices, two applications are given includingtomography and solution of Bessel equation.