Fourier analysis on the Lorentz group and relativistic quantum mechanics

Abstract

Rölativistik olmayan Schrödinger ve Lippman-Schwinger denklemleri tanımlandı. Bu denklemlerin hem momentum hem konfigürasyon uzayındaki ifadeleri Fourier dönüşümü kullanılarak incelendi. Üç boyutlu Öklid grubunun küresel bazlarca ifade edilen matris elemanlarının doğuranı olan ?düzlem dalga? nın seri açılımı, Legendre polinomları ve küresel Bessel fonksiyonları cinsinden yapıldı. Bunun yanısıra, dalga denkleminde kullanılmak üzere, Green fonksiyonunun hesabı gerçeklestirildi.Lorentz grubunun birimsel indirgenemez temsillerinin matris elemanları tanıtıldı ve bu elemanlar kullanılarak Gelfand-Graev dönüşümlerinin çekirdeği olan rölativistik dalga fonksiyonunun seri açılımı gerçeklestirildi. Bu bakıs açısıyla konfigürasyon uzayında, sonlu fark Schrödinger denklemi yapılandırıldı.Rölativistik olmayan denklemlerin benzeri olan rölativistik Lippman-Schwinger denklemlerini yapılandırmak üzere üç boyutlu Lobachevsky uzayında çalışıldı.Son olarak, sonlu fark Schrödinger denklemi kullanılarak, rölativistik dalga denkleminde kullanılmak üzere, bir boyutlu Green fonksiyonun hesabı gerçekleştirildi.

The non-relativistic Schrödinger and Lippman-Schwinger equations are described. The expressions of these equations are investigated in momentum and con ? guration spaces, using Fourier transformation. The plane wave, which is generating function forthe matrix elements of three dimensional Euclidean group in spherical basis,expanded in terms of Legendre polynomials and spherical Bessel functions. Also explicit calculation of Green?s function is done.The matrix elements of the unitary irreducible representations of Lorentz group are used to introduce Fourier expansion of plane waves. And the kernel of Gelfand-Graev transformation, which is the relativistic plane wave, is expanded in to these matrix elements. Then relativistic differential difference equation in con ? guration space is constructed.Lippman-Schwinger equations are studied in Lobachevsky space (hyperbolic space). An analogous to the non-relativistic case, using the ? nite difference Schrödinger equation, one dimensional Green?s function is analyzed for the relativistic case . Also the ? nite difference analogue of the Heavyside step function is investigated.