G2 structures with torsion and some applications in string theory

Abstract

G2-yapısı düzgün bir manifold üzerinde tanımlanabilir. Eğer M düzgün 7 boyutlu bir manifold ise G2 yapısı, çerçeve demetinin yapı grubunun kompakt, istisnai Lie grubu G2'ye indirgenmesidir. G2 grubu beş istisnai Lie grubundan biridir. Bununla birlikte, oktanyonların otomorfizm grubu olarak ya da genel lineer grup GL(7,R)'nin pozitif 3-formu koruyan bir alt grubu olarak da tanımlanabilir. Bu 3-formun duali, ? = ⋆? şeklinde olup, ?'ye nonlineer bir biçimde bağlıdır.Bir M manifoldunun G2 yapısına sahip olmasının iki denk koşulu vardır. Birinci ve ikinci Stiefel–Whitney sınıflarının sıfırlanması ya da buna denk olarak M manifoldunun yönlendirilebilir ve spin yapısına sahip olması gerekir.G2 manifoldları ise G2 holonomisi olan manifoldlardır. Bu, pozitif form ? üzerine diferansiyel geometrik bir koşuldur. Bu koşul, ?'nin Levi-Civita konneksiyonuna göre paralel olmasıdır. Bunun için ∇? = 0 koşulu ancak ve ancak d? = d⋆? = 0 olması ile sağlanır. Metrik de bu G2 yapısıyla tanımlanmaktadır. M manifoldunun G2-manifoldu olabilmesi için Ricci düz, yönlendirilebilir ve spin bir manifold olması gerekir [1]. G2 holonomisi olan manifoldlar ilk defa 1966 yılında Edmond Bonan tarafından bulunmuştur. Paralel 3-form ve paralel 4-formu inşaa etmiş ve bu manifoldların Ricci düz olduğunu göstermiştir [2]. G2 holonomisi olan 7 boyutlu tam ancak kompakt olmayan manifoldlar ilk kez Robert Bryant ve Salamon tarafından 1989 yılında bulunmuştur [3,4]. G2 holonomisi olan 7 boyutlu kompakt manifoldlar ise ilk kez Dominic Joyce tarafından 1994 yılında bulunmuştur [5]. Özellikle fizik literatüründe kompakt G2 manifoldları Joyce manifoldları olarak da anılır.G2 holonomisi olan manifoldlar fizikte özellikle sicim kuramında büyük bir öneme sahiptir. Son zamanlarda, G2 holonomisinden ziyade G2 yapısı olan manifoldlar, sicim kuramı uygulamalarında daha çok önem kazanmıştır. Bu durumda, pozitif 3-form ? ve onun Hodge duali olan ? paralel olmak zorunda değildir. Ve bunların paralellikten ne kadar uzak olduklarını ölçen yapıya G2 yapısının burulma sınıfları adı verilir. Biz bu burulma sınıflarının tanım ve özelliklerini inceleyecek ve sicim kuramındaki bir uygulamasını çalışacağız.Bu tez çalışmasının temel amacı, G2 yapısı olan manifoldların diferansiyel geometrik özelliklerini incelemektir. Özellikle G2 holonomisinden ziyade G2 yapısı olan manifoldları incelemektir. G2 yapısının burulma sınıfları üzerinde detaylıca durmak ve bunların sicim kuramına uygulamalarını incelemeyi hedeflemekteyiz.Bu tez 4 ayrı bölümden oluşmakta olup, birinci bölümde bu tez boyunca gerekli olacak bazı cebirsel ve diferansiyel geometrik kavramların tanımları incelenmektedir. İlk olarak, Diferansiyel Geometri alt bölümünde diferansiyel manifoldların genel tanımı verildikten sonra tanjant ve kotanjant uzaylarının tanımları verilmiştir. Tanjant ve kotanjant demetinin tanımları ve r-kovaryant tensör vasıtasıyla dış çarpım cebiri tanımlanmış olup bunların elemanlarının ise diferansiyel formlar olduğu belirtilmiştir. Dış çarpımın bazı özellikleri verilmiştir. Diferansiyel formların lokal koordinatlarda gösterimi verilmiştir. Riemann metriği tanımlandıktan sonra lokal koordinatlarda yazılmıştır. Bu metrik yardımıyla M üzerindeki volüm formu ve Hodge yıldız operatörü ⋆ lokal olarak tanımlanmıştır. Affin konneksiyonun tanımı verilerek bunun üzerinden paralel taşıma ve holonomi kavramları incelenmiştir. Kısıtlı holonomi grubunun tanımı verilmiştir. Metrik uyumlu ve burulmasız olan yegane affin konneksiyonu Levi-Civita konneksiyonu, Riemann eğriliği ile bu alt bölüm sonlandırılmıştır.Cebirsel temel kavramların incelendiği ikinci alt bölüm, normlu bölüm cebirlerinin ve vektör çarpımının tanımları ile başlamaktadır. Boyutları sırasıyla 1, 2, 4, 8 olan R, C ,H, O dışında normlu bölüm cebirlerinin olmadığı vurgulanmıştır. Daha sonra R3'teki iki vektörün vektör çarpımı ile kuaterniyon çarpımı ilişkilendirilmiştir. Aynı şekilde R7'de bu durumun oktanyon çarpımı ile ilişkilendirildiği belirtilmiş olup bu çarpımların özellikleri incelenmiştir. Oktanyonlar yardımıyla tanımlanan yeni vektör çarpımının aynı R3'teki vektör çarpımı gibi u x v = - v x u, 〈u x v ,u 〉 = 0, u x v^2 = u ∧ v ^2,özelliklerine sahip olduğu görülmüştür. Ancak, u x (v x w) + 〈u ,v 〉 w - 〈u ,w 〉 vifadesi R3'te olduğu gibi sıfırlanmamıştır. Bu, R7'de vektör çarpımının birleşme özelliğine sahip olmadığını gösterir.İkinci bölümde, G2 yapısı olan manifoldlar incelenmiştir. Öncelikle 3-form, volüm form ve 4-formun oktanyonlar üzerinden Cayley-Dickson prosesi ile nasıl tanımlandığı gösterilmiştir. Daha sonra G2 yapısının ve G2 grubunun tanımı verilmiştir. G2 yapısının genel özellikleri verilmiştir. G2 yapısı olan bir manifoldun metrik, vektör çarpım ve 3-form arasındaki ? (u , v , w) = 〈u x v , w 〉.ilişkiye sahip olduğu belirtilmiştir. Daha sonra (?,g) G2 yapısının burulması ∇? olarak tanımlanmış olup, bu yapının burulmasız olması için ∇? = 0 olması gerektiği belirtilmiştir. 7 boyutlu bir manifoldun G2 yapısına sahip olabilmesi için yönlendirilebilir ve spin olması gerekiği buna denk olarak da birinci ve ikinci Stiefel-Whitney sınıflarının sıfırlanması gerektiği vurgulanmıştır. Holonomi, G2 yapısın burulmasız olması ve 3-form ile 4-formun paralel olmasıyla ilgili ilişkiler verilerek bu alt bölüm sonlandırılmıştır.Sonraki alt bölümde ise metrik, 3-form ve vektör çarpım arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Bu tez boyunca kullanılacak olan bazı temel özellikler ve ilişkiler verilmiş olup bunların yanısıra lokal koordinatlardaki gösterimleri de detaylıca incelenmiştir. Vektör alanlarının dış çarpımı, vektör çarpımı ve 4-form arasındaki ilişki verilmiştir. ?, g ve volüm form arasındaki genel ilişki incelenmiştir. Aynı ilişki lokal koordinatlarda detaylıca incelenmiştir. Bu kavramların birlikte kullanıldığı diğer eşitlikler ve ilişkiler incelenmiştir.Bir sonraki alt bölümde 3-form ? ve onun duali olan 4-form ?'nin birlikte bulunduğu eşitlikler incelenmiştir. 3-form ? ve onun duali olan 4-form ? lokal koordinatlarda gösterilmiştir. Metrik, vektör çarpım ve 3-form arasındaki ilişkilerden ve kovaryant türevden yararlanılarak 3-form ve 4-form arasındaki ilişkiler ve özellikler belirlenmiştir. Sadece 3-form ? ve metrik g içeren eşitlikler incelenmiştir. Son olarak yalnızca 4-form ? ve metrik g içeren eşitlikler üzerinde durulmuştur. Bunlar lokal koordinatlarda detaylıca incelenmiştir. Bir sonraki adım olarak, 3-form ?, 4-form ?'nin kovaryant türevlerini içeren eşitlikler verilmiştir.Sonraki alt bölümde k-formların uzayının indirgenemez ve ortogonal G2 temsillemelerine ayrılması incelenmiştir. 2-formların uzayı 7 ve 14 boyutlu ortogonal alt modüllere ayrılmıştır. Bunun Hodge duali olan 5-formların uzayı da aynı şekilde 7 ve 14 boyutlu alt modüllere ayrılmıştır. 3-formların uzayı ve onun Hodge duali olan 4-formların uzayı ise 1, 7, 27 boyutlu alt modüllere ayrılmıştır. 3-form ?'nin özelliklerinden ve daha önce hesaplanan G2 ilişkilerinden yararlanılarak her bir alt modül ayrı ayrı tanımlanmıştır. Daha fazla özelliklerinin incelenmesi için 3-formların uzayı kullanılarak simetrik bir tensör tanımlanmış ve bununla 3-formların uzayı arasındaki ilişkiler irdelenmiştir. Böylece 3-formların uzayının 27 boyutlu alt modülü için yeni bir tanım elde edilmiştir.Daha sonra, paralel olmayan 3-form ve onun Hodge duali olan paralel olmayan 4-form alınmıştır. d?'nin 4 formların uzayına ve d?'nin 5 formların uzayına ait olduğu ve bu uzayların alt modüllere ayrılması gibi d? ve d?'nin de alt modüllere ayrıştığı elde eldilmiştir. Bu ayrışma sonucu burulma sınıfları elde edilmiştir. d? = τ0 ? + 3 τ1 ∧ ? + ⋆τ3 d? = 4 τ1 ∧ ? + ⋆τ2Burada d? ve d? ifadelerinde adı geçen τ1'in aynı olduğu ispatlanmıştır. Burulma sınıflarının genel özellikleri incelendikten sonra kovaryant türev yardımıyla tam burulma tensörü tanımlanmıştır. Bu tensörün simetrik ve simetrik olmayan kısımlarının sırasıyla τ0, τ3 ve τ1, τ2 cinsinden yazılabildiğini elde edilmiştir. Ayrıca bu tensörün, burulma sınıfları cinsinden yazılması gibi her bir burulma sınıfının da bu tensörün simetrik ya da simetrik olmayan bölümleri cinsinden yazıldığını elde edilmiştir.Bu bölümün son kısmında ise sicim teorisi uygulamalarında kullanılmak üzere curl, div, grad gibi bazı diferansiyel geometrik operatörler tanımlanmış olup G2 yapılı manifoldlar üzerinde sağladığı bazı özellikleri verilmiştir.Son bölümde ise G2-yapılarının sicim kuramına uygulanması incelenmiştir. Bunun için, on boyutlu süper kütle çekimi denklemlerinin klasik bir çözümü ele alınmıştır. Daha sonra, G2 holonomisinin metriğinin kuantum düzeltmelerini sağlamak üzere değiştirilebilme durumu araştırılmıştır. Buna denk olarak, 3-form ?'ye bir pertürbasyon uygulanarak elde edilen yeni metriğin, düzeltilmiş kuantum denklemlerini çözebilme durumu araştırılmıştır. Bu da bizi yeni oluşturulmuş ?' ve onun Hodge duali ?' tarafından oluşturulan kısmi diferansiyel denklem sisteminin varlığını araştırmaya yönlendirmiştir. Bu sistemin çözümünün, bazı şartlar altında her zaman var olduğu gösterilmiştir.

A G2-structure can be defined on any seven dimensional smooth manifold M as a reduction of the structure group of the frame bundle of M to the compact, exceptional Lie group G2. The Lie group G2 can be described as the subgroup of the general linear group GL(7,R) which preserves a positive 3-form ?, called the associative form. The Hodge dual, ? = ⋆? which is a 4-form, is called the coassociative form. ? depends on ? nonlinearly, as the metric with respect to which the Hodge duality is defined, is also determined by the 3-form ?.G2 manifolds are manifolds with G2 holonomy. This is a further differential geometric condition imposed on the 3-form ? . More precisely ? has to be parallel with respect to the Levi-Civita connection. It is known that if M is a G2-manifold, then M is a Ricci-flat, orientable, spin manifold.Manifolds with G2 holonomy are important in physics, especially in string theory. Recently, manifolds with G2-structure, rather than G2-holonomy has found interesting applications in string theory. In this case, the associative 3-form ? and its Hodge dual ? are not necessarily parallel. And the tool that measures how far they are from being parallel is given by the torsion classes of the G2-structure.The aim of this thesis is to study the differential geometric properties of manifolds with G2-structure. We are particularly interested in the case when we have just G2-structure rather than G2 holonomy. Hence, we study in detail the description of the torsion classes of a given G2-structure. We also study an application in string theory.The outline of this thesis is as follows. We start by a preliminary chapter in differential geometry and algebra reviewing the topics which are essential for the rest of the thesis. In the following chapter, we start describing the G2-structures. First, we construct the associative 3-form via the octonions. Then, we consider the properties of a G2-structure and a G2-manifold. After that, we see the relation between the metric, cross product and the associative 3-form. Then, we describe the decomposition of each space of k forms into irreducible G2 representations. Afterwards, we decompose d ?, d ⋆? into irreducible G2 representations, which defines the torsion forms for us. By considering these torsion forms we see their relation to the concept of being torsion free ?. In the last chapter, we consider an application of G2 structures in string theory. We start with a classical solution of ten dimensional supergravity of the form R{2,1} x Y7 where Y7 is a G2 manifold. Then we ask if the metric of G2 holonomy can be modified to compensate for quantum corrections, which are callled α' corrections. Equivalently we ask, if there is a small deformation ?' = ? + δ ? of the associative 3-form ? such that the corresponding metric g' solves the α' corrected equations of the quantum theory. This amounts to analyzing the existence of a coupled system of partial differential equations for ?', and its Hodge dual (with respect to g') where the source terms are determined by physics, and are related to the torsion forms of the G2 structure ?'. We show that such a solution always exists.