An adaptive modal pushover analysis procedure to evaluate the earthquake performance of high-rise buildings

Abstract

Teknolojik gelişmeler, yüksek performanslı malzemelerin kullanımı, mimarlık ve yapı mühendisliğindeki yenilikçi arayışlar dolayısıyla yüksek binaların kullanımı gün geçtikçe yaygınlaşmaktadır. Yüksek binaların tasarımında, daha önceki dönemde kullanılan dayanım esaslı doğrusal tasarım yaklaşımı yerine günümüzde performansa dayalı tasarım yaklaşımı yaygınlaşmıştır. Bu bağlamda, Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER) Tall Buildings Initiative isimli bir organizasyonu oluşturarak, depreme karşı dayanıklı yüksek binaların performans esaslı tasarımını konu alan yönetmeliklerin oluşturulması amacıyla, 2006-2009 yılları arasında çok sayıda yayın yapmıştır. Bu çalışmalar kapsamında, Tall Buildings Initiative oluşumunda yer alan Los Angeles Tall Buildings Structural Design Council (LATBSDC), Structural Engineers Association of Northern California (SEAONC) ve Council of Tall Buildings and Urban Habitat (CTBUH) isimli kuruluşlar performans esaslı tasarım konusunda değişik çalışmalar yayımlamışlardır. PEER, 2010 yılında yayımladığı Guidelines for Performance-Based Seismic Design of Tall Buildings isimli çalışmada yüksek yapıların performans esaslı tasarımına yönelik prensipleri ve koşulları içeren bir dokümanı oluşturmuştur. Ülkemizde bu gelişmelere paralel olarak, 2008 yılında İstanbul Büyükşehir Belediyesi tarafından il sınırları içerisinde inşa edilecek yüksek yapıların tasarım prensiplerini içeren Yüksek Yapılar Deprem Yönetmeliği'nin taslak metni yayımlanmıştır.Bütün bu çalışmalarda, yüksek binaların kesin tasarımı aşamasında iki doğrultuda etkiyen yer hareketi için üç boyutlu doğrusal olmayan zaman tanım alanında çözümlemeler yapılması gerektiği konusunda fikir birliğine ulaşılmıştır. Buna karşın, zaman tanım alanında yapılacak çözümlemelerin kompleks, zaman alıcı ve bazı belirsizlikleri içermesi dolayısıyla, kullanımında zorluklar bulunmaktadır. Özellikle ön tasarım ve hesap kontrollerinin yapılması aşamalarında, hızlı ve yaklaşık sonuçlar üretebilen diğer yöntemlerin de kullanılmasına gereksinim duyulmaktadır.Doğrusal olmayan statik çözümleme yöntemleri (NSPs), binanın kat hizalarında etkitilen ve analiz boyunca aralarındaki oranlar değişmeyen yatay atalet kuvvetleri ile seçilen karakteristik bir yerdeğiştirmenin değişimini ortaya koymaktadır. Deprem istemine bağlı olarak belirlenen bir yerdeğiştirme hedefinde eleman iç kuvvet ve deformasyon durumları değerlendirilmektedir. Geleneksel olarak birinci mod şekli ile uyumlu atalet kuvvetlerinin kullanıldığı bu çözümleme yönteminin düşey kesitte ya da planda düzensizlikler içeren ve/veya ileri titreşim modlarının etkili olabildiği yapı sistemlerinde kullanımı uygun olmayabilmektedir. Çok modlu doğrusal olmayan statik çözümleme teknikleri; ileri titreşim modlarının etkisini daha iyi dikkate alarak geleneksel NSP'lerin yetersizliğini ortadan kaldırabilen, böylelikle doğrusal olmayan zaman tanım alanında gerçekleştirilen hesaplarda elde edilen sonuçlara daha yakın sonuçlar üretebilen yaklaşık yöntemlerdir.Bu tez çalışmasında; yüksek binaların deprem performansının değerlendirilmesi için, ileri titreşim modlarının etkisini de dikkate alabilen uyarlamalı bir modal itme analizi yöntemi (VMPA-A) önerilmiştir. Bu yöntemin gerçek yapı sistemlerinde sayısal olarak uygulanabilmesi için, DOC3D_v2 isimli bir yazılım geliştirilmiştir. DOC3D_v2 yazılımı, üç boyutlu çerçeve ve/veya perde tipi taşıyıcı sistemlerin malzeme ve geometri değişimi bakımından doğrusal olmayan çözümlemesini yapabilen, yayılı ve yığılı plastisite seçeneklerinin bulunduğu, serbest titreşim analizi, zaman tanım alanında doğrusal çözümleme özelliklerini de içeren MATLAB tabanlı bir yazılımdır. Yazılımda kullanılan doğrusal olmayan birim çubuk eleman eğilme ve kayma şekildeğiştirmelerini ve bunların birbirleri ile olan etkileşimini dikkate alabilmektedir. Fiziksel alt sistem kullanımı seçeneği yazılımın çözüm süresini kısaltan diğer bir önemli özelliğidir.Kolon-kiriş türü çubuk elemanların doğrusal olmayan davranışını göz önüne almak üzere literatürden alınan bir konsol eleman geliştirilerek bu tez çalışmasında kullanılmıştır. İlk haliyle yerdeğiştirme ve kuvvet yönteminin beraber kullanılması ile üretilmiş olan eleman birim kuvvet matrisi, bu çalışmada sadece kuvvet yöntemi kullanılarak hesaplanmaktadır. Eleman birim kuvvet matrisi terimleri, yeterli sayıda parçaya bölünmüş çubuğun ardışık düğüm noktalarının arasındaki göreli çökme ve dönme farklarından yararlanılarak hesaplanmaktadır. Orjinal durumda kullanılan ikinci mertebe etkilerinin eşdeğer kesme kuvveti çiftine dönüştürülerek uygulanması yolu terk edilerek; bunun yerine şekil değiştirmiş eksende virtüel iş teoremi uygulanmıştır. Yeni özellikler katılarak geliştirilen birim elemanın doğruluğunu kontrol etmek amacıyla, malzeme bakımından doğrusal ancak geometri değişimi bakımından doğrusal olmayan sayısal örnekler üzerinde irdelemeler yapılmıştır. Söz konusu karşılaştırmalarda; `kesin çözüm olarak`, eğilme etkisinin tek başına bulunduğu örneklerde Bernoulli-Navier hipotezi, kesme ve eğilme etkilerinin birlikte bulunduğu örneklerde ise Timoshenko kirişi hipotezi esas alınarak oluşturulan diferansiyel denklemlerin çözümlerinden elde edilen sonuçlar kullanılmıştır.Malzeme bakımından doğrusal olmayan çözümlemede; sanal rijitliklerin seçimi için doğrusallaştırma tekniği olarak başlangıç kirişi yöntemi kullanılmıştır. Eğilme-kayma etkileşimini dikkate almak üzere, literatürde yer alan bir makro model geliştirilerek kullanılmıştır. Bu modelde, artan eğrilik sünekliğine bağlı olarak kesme kuvveti-kayma açısı ilişkisinin zarfı değişmektedir. DOC3D_v2 yazılımına adapte edilen eğilme-kayma etkileşimi özelliğini doğrulamak üzere, farklı kesme açıklık oranlarına sahip 3 adet kolon eleman kullanılmıştır. Tersinir tekrarlı statik yükler etkisinde denenen bu kolonların kesme açıklık oranları (Ls/h) 10.0, 3.2 ve 1.33'tür. Bu değerler sırasıyla, kırılma esnasında şekildeğiştirmeler üzerinde eğilme, kesme-eğilme etkileşimi ve kesme davranışının hakim olduğu durumlara karşı gelmektedir.DOC3D_v2 yazılımına ekelenen bir diğer önemli özellik de doğrusal olmayan perde davranışını dikkate alabilen üç boyutlu düşey çubuk elemanlardan oluşan perde modelidir (3D MVLEM). Bu model, perde kesiti planda yeterli sayıda life bölünerek sadece eksenel rijitliği olan düşey yay grubu ve her katta belirli bir yükseklikte tanımlanan yatay bir kayma yayı içermektedir. Perdenin eğilme ve eksenel davranışı düşey yaylar, kayma davranışı ise yatay yay ile temsil edilmektedir. Düşey yaylara doğrusal olmayan beton ve çelik malzeme davranış modelleri tanımlanabilmektedir. Perde uç bölgelerinde sargılı beton modeli, perde gövdesinde ise sargısız beton malzeme modeli kullanılabilmektedir. 3D MVLEM kat bazında alt ve üst uçta tanımlanan 6 serbestlik derecesi ile ifade edilmektedir. Modelde, artan eğriliğe bağlı olarak tarafsız eksenin basınç bölgesi içinde ilerlemesi dikkate alınabilmektedir. Programa adapte edilen perde davranış modelinin doğrulanması için literatürde yer alan deneysel esaslı dikdörtgen ve T kesitli perdeler üzerinde karşılaştırmalar yapılmıştır.Matris yerdeğiştirme yöntemini esas alan DOC3D_v2 yazılımının 3 boyutlu sistemler üzerindeki doğrulamaları SAP2000 ve Perform3D yazılımları vasıtasıyla yapılmıştır. Bu kapsamda, üçgen bir kat planına sahip olan tek katlı bir çerçeve örneği kullanılmış, doğrusal çözümleme algoritmasının doğruluğu tespit edilmiştir. İki eksenli eğilme ve eksenel kuvvet etkisinde olan dikdörtgen kesitli kolonların moment eğrilik ilişkilerinin oluşturulabilmesi için DOC3D_v2 yazılımında bir alt program geliştirilmiştir. Seçilen bir kolonda, farklı eksenel yük düzeyleri ve değişik asal eksen doğrultuları için elde edilen sonuçlar literatürde yer alan XTRACT yazılımı sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Bu alt programın ürettiği sonuçlar, DOC3D_v2 yazılımının ihtiyaç duyduğu P-Mx-My mafsal özelliklerine karşı gelmektedir. Üçgen kat planlı örnekte, kolonlara P-Mx-My mafsalları atanarak depremin planda farklı açılarla (p etkimesi durumu gözönüne alınarak itme analizleri gerçekleştirilmiş, elde edilen sonuçlar Perform3D yazılımı sonuçları ile karşılaştırılmıştır.DOC3D_v2 yazılımında sadece kuvvet kontrollü çözümleme algoritması değil, aynı zamanda yerdeğiştirme kontrollü çözüm algoritması da yer almaktadır. Bu özellik sayesinde, birinci ya da ikinci mertebe limit yük düzeyine erişildikten sonraki aşamada yakınsama problemi oluşmadan çözüm üretilebilmektedir. Malzeme ve geometri değişimi bakımından doğrusal olmayan çok serbestlik dereceli bir kolon örneği üzerinde kuvvet ve yerdeğiştirme kontrollü analiz algoritmaları karşılaştırılmıştır.Çok modlu bir itme analizi türü olan modal itme analizinin (MPA) farklı bir uygulaması olarak uyarlamalı modal itme analizi yöntemi (VMPA) geliştirilmiştir. VMPA, başlangıç kirişi yöntemini eleman bazında ve modal davranış düzeyinde kullanan iteratif bir yöntemdir. Bu yöntemi MPA'dan ayıran başlıca özellikler şöyle sıralanabilir: i. Uyarlamalı uygulamada (VMPA-A), ardışık yaklaşıma dayalı hesabın her bir adımında, anlık titreşim mod biçimleri ile uyumlu atalet kuvveti dağılımları esas alınmaktadır. Böylece, her iterasyon adımında kuvvet ve yerdeğiştirme vektörleri arasındaki uyum sağlanabilmektedir. Uyarlamalı olmayan uygulamada (VMPA) ise, MPA yöntemine benzer şekilde kuvvet vektörü çözüm boyunca değişmemektedir. ii. Eşit yerdeğiştirme kuralının başlangıç kirişi yöntemine dayalı sanal rijitlikler ile kullanılması durumunda, kapasite eğrilerinin tamamının çizilmesi gereksinimi ortadan kalkmaktadır. Tek bir hedef yerdeğiştime istemi için çözümleme yapılmaktadır.Bu çalışmada, VMPA-A yönteminin algoritması iki ve üç boyutlu yapı sistemleri için ayrı ayrı ele alınmıştır. Düzlem sistemler için geliştirilen algoritma spektral yerdeğiştirme (Sd) – spektral ivme (Sa) ortamında uygulanmaktadır. Yerdeğiştirme kontrollü algoritmada, modal kapasite diyagramında n. mod için başlangıçta belli olan modal yerdeğiştirme istemi (Sdn_p) ve ona karşı gelen spektral ivme (San_p), elastik spektral ivmeden (San_e) hareketle, ardışık yaklaşıma dayalı bir algoritma ile hesaplanmaktadır. İki boyutlu algoritmanın doğruluğunu tartışmak amacıyla 9 ve 20 katlı Los Angeles SAC binaları üzerinde analizler gerçekleştirilmiş ve elde edilen değişik yapısal istem büyüklükleri için karşılaştırmalar yapılmıştır. Bu doğrulamalarda, literatürde yer alan iki farklı deprem kayıt grubu gerçekleştirilen zaman tanım alanındaki doğrusal olmayan hesapta kullanılmıştır. Kayıt grubunun ilki Avrupa veritabanından alınan 20 kuvvetli tarihsel depremi, ikincisi ise PEER NGA veritabanından alınan 44 tarihsel depremi içermektedir. Avrupa veritabanı depremleri dört farklı yer ivmesi seviyesi (ag=0.10, 0.50, 0.75 ve 1.00 g) için, PEER NGA veritabanı depremleri ise tek bir ivme seviyesi (ag=0.75g) için analiz edilmiştir. Karşılaştırılan yapısal istem büyüklükleri kat ötelenmeleri, göreli kat ötelenmeleri oranı, kat kesme kuvvetleri, devrilme momentleri ve seçilen eleman şekildeğiştirme değerleridir. VMPA-A yöntemi özellikle kat göreli kat ötelenmeleri açısından oldukça iyi sonuçlar vermektedir. Kat kesme kuvvetleri için ise güvenli tarafta kalacak daha büyük değerler elde edilmiştir. VMPA ve VMPA-A tarafından üretilen göreli kat ötelenmeleri, literatürde bulunan diğer çok modlu yöntemlerden N2, MPA ve MMPA sonuçları ile de karşılaştırılmıştır. Yirmi katlı örnekte, bu çalışmada geliştirilen VMPA-A yönteminin daha iyi sonuç verdiği gözlemlenmiştir.Üç boyutlu yapı sistemleri için geliştirilen algoritmada, yapıya planda çift doğrultuda etkiyen deprem durumu çalışılmıştır. VMPA-A yönteminin teorik alt yapısı MPA yöntemi ile büyük benzerlik içermektedir. Buna karşın, MPA yönteminin aksayan bazı özellikleri, geliştirilen algoritma ile ortadan kaldırılmaktadır. Çözüm geliştirilen konular şunlardır: i. Yapıya etkiyen atalet kuvvetlerinin analiz boyunca sabit olması durumu ii. Deprem yer hareketinin yapı planında iki dik doğrultudaki etkisinin eş zamanlı olarak tanımlanması yerine, iki bağımsız yükleme olarak tanımlanıp sonuçların sonradan birleştirilmesi durumu. VMPA-A'de geliştirilen çözümler şöyle sıralanabilir: i. Gerçekleşen yapısal hasar nedeniyle değişen dinamik karakteristiklerin uyarlamalı olarak dikkate alınması sayesinde seçilen bir düğüm noktasındaki her üç serbestlik için (x,y ve z) kuvvet ve yerdeğiştirme vektörleri arasındaki uyumun sağlamış olması. ii.VMPA-A, apsis ve ordinatı sırasıyla ve olan, fiziksel bir anlam taşımayan bir hibrit spektral format üzerinde uygulanmaktadır. Bu hibrit spektrumun belirli bir periyoda karşı gelen eğimi, Sd- Sa ilişkisinde olduğu gibi, ilgili periyoda karşı gelen açısal frekansın karesine eşittir. Bu spektrum kullanılarak, planda iki dik doğrultuda etkiyen deprem hareketi birlikte dikkate alınabilmektedir. Bunun doğal sonucu olarak, MPA'de iki kez uygulanmak zorunda olunan modal birleştirme işlemleri, VMPA-A'de bire düşmektedir.Üç boyutlu VMPA-A'in doğrulaması, 45 katlı taşıyıcı sistemi perde ve bağ kirişlerinden oluşan bir taşıyıcı sistem üzerinde yapılmıştır. Faya paralel ve faya dik bileşenlerinin ivme spektrumlarının geometrik ortalaması, ASCE 7.05 spektrumuna uyacak biçimde ölçeklendirilmiş 30 adet deprem kaydı ile çalışılmıştır. Deprem kayıtları için uygulanan zaman tanım alanında doğrusal olmayan çözümleme sonuçlarının ortalamaları ile VMPA-A sonuçları karşılaştırlmıştır. Taşıyıcı sistemin zayıf doğrultusunda kat ötelenmeleri ve göreli kat ötelenmelerinin büyük ölçüde örtüştüğü gözlemlenmiştir. Buna karşın, dik doğrultuda sonuçlar arasında farklılıklar bulunmaktadır. Zayıf doğrultudaki kat kesme kuvvetleri ve karşı gelen devrilme momentleri karşılaştırıldığında, güvenli tarafta kalan büyük değerler elde edilmiştir. Dik doğrultuda ise, alt katlar dışında kat kesme kuvvetleri ve devrilme momentleri daha iyi sonuç vermiştir. Seçilen perde liflerindeki en büyük basınç ve çekme şekildeğiştirmeleri gözönüne alındığında, doğrusal olmayan davranışın yoğun olduğu alt katlarda çok yakın sonuçlar elde edilirken, üst katlarda göreli farklar büyüktür. Bağ kirişlerindeki eğrilikler bakımından analiz sonuçları başarılıdır.Üçüncü bir karşılaştırma örneği olarak, dört bodrum, bir zemin ve 17 normal kattan oluşan 21 katlı gerçek bir betonarme binanın deprem performansı irdelenmiştir. Zaman tanım alanında gerçekleştirilen doğrusal olmayan dinamik çözümlemede kullanılmak üzere, sözkonusu binanın bulunduğu bölgenin özelliklerine uygun 2007 Deprem Yönetmeliğine göre tanımlanan ivme spektrumunu esas alan 30 adet tarihsel deprem ivme kaydı PEER NGA veritabanından seçilmiştir. Burada, perdeler için çatlamış kesit eğilme rijitliği kullanılmıştır. Böylelikle, binanın birbirine dik doğrultularının herbiri için kat ötelenmeleri ve göreli kat ötelenmeleri NTHA sonuçlarına çok yakın değerler vermiştir. Kırk beş katlı örnekte olduğu gibi, kat kesme kuvvetleri ile kat devrilme momentleri bakımından güvenli tarafta kalan büyük değerler elde edilmiştir. Kat devrilme momentleri değerlendirildiğinde, birinci titreşim modunun davranış üzerinde baskın olduğu gözlemlenmektedir.Yine 45 katlı örnekte olduğu gibi, seçilen bazı perde liflerindeki şekildeğiştirmeler hasarın büyük olduğu bölgelerde NTHA ile yakın sonuçlar vermiş, üst katlara çıkıldıkça hata miktarı artmaktadır. Kiriş eğrilikleri başarılı olarak değerlendirlmekle birlikte birinci titreşim modunun davranışa hakim olduğu kanısına varılmıştır.

Today, in light of the advances in structural design/systems and high strength materials, as well as innovative structural concepts, a rapid growth in the construction of tall buildings within urban areas is taking place. Force-based linear design procedures have given way to a performance-based design approach. In this context, the Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER) is leading the Tall Buildings Initiative (TBI), which has developed safe and convenient written guidelines containing principles for the performance-based design of tall buildings, as well as having funded and coordinated a range of short- to intermediate-term projects between 2006 and 2009. Meanwhile, participants in the TBI—namely, the Los Angeles Tall Buildings Structural Design Council (LATBSDC), the Structural Engineers Association of Northern California (SEAONC) and the Council of Tall Buildings and Urban Habitat (CTBUH)—have published guidelines about the performance-based design of tall buildings. PEER published a document entitled `Guidelines for Performance-Based Seismic Design of Tall Buildings`, which describes performance-based design principles and characteristic criteria for tall buildings. In parallel with these international developments, a draft code for the design of tall buildings in Istanbul, known as `Yüksek Yapılar Deprem Yönetmeliği`, was published in 2008. A consensus has been reached about the necessity of performing a three-dimensional (3D) nonlinear time history analysis (NTHA) with biaxial components of ground motions in the final design of tall buildings. Nonetheless, some difficulties in implementing NTHA exist, on the basis that it is a complex and time consuming process faced with many uncertainties. For this reason, there is a need to develop analyzing methods that are both quick and with a reasonable degree of accuracy with respect to NTHA. The nonlinear static procedure (NSP) has become a practical analytical tool to estimate seismic demands of building-type structures. Most NSPs are precisely designated as conventional pushover analyses, in which an invariant lateral force distribution corresponding to the fundamental mode shape is subjected to the structure. However, applicability of conventional pushover analysis is limited to low-rise buildings without vertical or torsional irregularities, the behavior of which is not affected by higher modes. Multimode pushover analysis procedures are approximate methods, which can overcome the drawbacks of conventional NSPs by taking account of higher mode effects as well as obtain results that are closer to NTHA when compared with conventional NSPs.In this thesis, a variant of modal pushover analysis (VMPA-A), which is capable of taking account of the higher mode effects, is developed for use in the performance-based evaluation of tall buildings. The so-called DOC3D-v2, which is a MATLAB-based computer program, was developed to implement VMPA in order to analyze 3D frame and/or shear wall-type structural systems. DOC3D-v2 takes into account concentrated and distributed plasticity for the frame-type elements, as well as considers the second-order effects of axial loads on the members. Furthermore, the beam-column element of DOC3D-v2 considers the nonlinear interaction of shear-flexural deformations. The applicability of the physical substructuring approach is one of the substantial features of DOC3D-v2 for reducing the computation time.The suggested procedure is based on an iterative process, in which secant stiffness is used both at the element level and in the modal response. VMPA diverges from the existing modal pushover analyses for the following reasons: i) In the adaptive version (VMPA-A), mode-compatible adaptive forces are applied to the structure at each iteration step. In this way, the compatibility of force and displacement vectors may be satisfied. For the non-adaptive case (VMPA), the force vector is invariant during the analysis process. ii) The application of the equal displacement rule, in combination with secant stiffness-based linearization, eliminates the necessity to produce a capacity diagram for each mode. The analysis is performed for a unique displacement for each mode.The algorithm of VMPA-A is handled in respect of two-dimensional (2D) and 3D structural systems. The algorithm for the planar system is implemented in the spectral displacement-spectral acceleration (Sd-Sa) format. The displacement-controlled algorithm determines the single ordinate of the modal capacity diagram, which corresponds to the target displacement demand for the nth mode (Sdn_p, San_p) by reducing elastic spectral acceleration (San_e) to converge with plastic acceleration (San_p). To verify the success of the suggested procedure, nine- and 20-story LA SAC buildings are analyzed, with the resulting demands compared with several existing procedures, such as the extended N2, MPA (modal pushover analysis) and MMPA, while NTHAs are performed for two different sets of acceleration records. The first set consists of 44 strong ground motion records, which are downloaded from the PEER NGA Database for the ground acceleration level (ag=0.75g). The second set is taken from the European Database and consists of 20 strong ground motion records, which are analyzed for four different acceleration levels (ag= 0.10, 0.50, 0.75, 1.00g). The evaluated demand parameters are story displacements, drifts, shear forces and the distribution of column and beam curvatures. VMPA-A yields enhanced results in terms of story drifts, especially for the 20-storey LA building, compared with the other methods. Although the story displacements and drifts are largely consistent with NTHA results, conservative estimates are obtained for the story shear forces.The 2D algorithm is extended for use with 3D structures in relation to bidirectional ground motions. The theoretical background of VMPA-A has a lot of similarities with MPA. Nonetheless, MPA has some deficiencies such as i) invariant load patterns compatible with an nth-mode shape, which corresponds to the linear elastic eigenvalues applied to the structure, and ii) the MPA procedure, which is applied separately for the x and y components of the ground motion. For each case, the demand parameters of interest are combined by a CQC combination rule. Next, the effects of two ground motion components are combined using an SRSS combination rule. Applying modal combination rules twice may cause erroneous results. These drawbacks are eliminated in VMPA-A for the following reasons: i) the use of adaptive force patterns, due to the changes in the dynamic characteristics with increasing structural damage, provides the compatibility of force and displacement vectors for each three-degree-of-freedom (x,y ve z); ii) the VMPA method is implemented in relation to the hybrid spectrum, whose abscissas and ordinates have no physical meaning, namely and , respectively. The slope of the spectrum for a specific vibration mode corresponds to the eigenvalue of the mode, as with the Sd-Sa spectrum. The two orthogonal components of the ground motion can be taken into account simultaneously. As a natural consequence of this, the two-time application of modal combination rules is reduced to one in VMPA-A. A 45-story coupled shear wall (SW) system is used as a calibration example for 3D VMPA-A. Thirty historical earthquake acceleration records, including fault normal and fault parallel components that are scaled according to the ASCE 7.05 spectrum within the selected period range, are used and compared with the VMPA results. The results obtained from the average of NTHAs are compared with those of VMPA-A. The predictions obtained for the lateral displacement and drift in the weak direction are in close agreement with the mean of the NTHA. However, some discrepancy is encountered in the perpendicular direction. Conservative estimates are reached for the story shear forces' weak direction and the corresponding overturning moments. The predictions in perpendicular direction, story shear forces and overturning moments are better, with the exception of lower stories. Although the ultimate tension and compression strains for two representative SW parts are consistent with the NTHA results at the lower stories, where nonlinear behavior occurs, the relative differences are quite high for the upper part of the structure. Similar results are obtained for the curvature distribution of the coupling beams.The third application of VMPA is on an existing 21-story, reinforced concrete building, with three basements, one ground floor and 17 typical floors, under bidirectional ground motion. Thirty ground motions are selected from the PEER NGA database, then scaled in accordance with the 2007 Turkish Earthquake Code spectrum with consideration to the location and soil conditions of the building, for use in NTHAs. Here, cracked rigidities are used for SWs. This reflects the predictions of lateral drifts and displacements with respect to the average of the NTHA in both orthogonal directions. Similarly, with the 45-story example, conservative estimates have been reached for story shears and overturning moments. First mode behavior dominates the story overturning moments, especially at lower stories. Again, similar to the 45-story example, although the nonlinear strains of selected SW fibers are in close agreement with NTHA in lower stories, the errors increase in the upper parts. The curvatures are successfully estimated and first mode response governs the total.