Numerical modelling of unifom flow over a porous plane with suction perpendicular to the surface by using semi analytical numerical methods

Abstract

Bugüne kadar gözenekli ortam hakkında çok fazla çalışma yapılmıştır. Çünkü gözenekli ortam günlük hayatımızda her alanda karşımıza çıkmaktadır. Küçük ölçekte düşündüğümüzde kanın mikroskobik seviyedeki akışından büyük ölçekte jeotermal bilimlere kadar geniş bir alanda gözenekli ortam problemini görebilmek mümkündür. Gelişen teknoloji ile beraber ortaya çıkan çalışmalar daha kapsamlı sonuçlar vermeye başladıkça gözenekli ortam günden güne daha büyük bir önem kazanmıştır. Biyomekanik sistemlerdeki taşıma işlemlerinden havacılıkta kullanılan kabin içi filtre tasarımına kadar geniş bir uygulama alanında yapılan çalışmalar günümüzde de devam etmektedir. Nükleer mühendislik, biyomedikal sistemler, havacılık, jeotermal bilimler sadece birkaç örnektir. Bu kadar sık karşılaştığımız bir ortama gözenekli ortam diyebilmemiz için bazı şartlara ihtiyacımız vardır. İlk şartımız malzeme kendi boyutları ile karşılaştırıldığında çok küçük boşluklara sahip olmalıdır ve bu boşluklar hava ya da su gibi akışkanlar ile dolu olmalıdır. İkinci şart ise akışkan katı malzemenin bir ucundan girip diğer ucundan çıkabilmelidir. Bahsedilen bu iki şart sağlandığında bulunan ortam gözeneklidir kabulü yapılabilir. Bu çalışmada yüzeye dik yönde emme olan gözenekli bir ortama gelen üniform akışın yarı analitik yöntemlerle sayısal modellenmesi üzerine çalışılmıştır. Bu çalışmada yüzeye dik yönde emme olan gözenekli ortama gelen üniform akışın iki farklı yarı analitik yöntem kullanarak sayısal modellemesi yapılmıştır. Kullanılan yarı analitik yöntemler diferansiyel kuadratur yöntemi (DQM) ve moment yöntemidir (MoM). Birinci bölümde öncelikle çalışmanın önem ve içeriğinden bahsedilmiş ve sonra konu ile ilgili yapılan diğer çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde matematiksel modelleme kısmında gerekli olan teorik bilgilerden bahsedildi. Öncelikle bölümün amacı ve kapsamından bahsedildi. Devamında akışkan hareketini yöneten denklemler verildi. Süreklilik ve momentumun korunumu denklemleri akışkanı tanımlamak için kullanılan denklemlerdir. Ayrıca akışkanı tanımlayan denklemleri düzenlerken ihtiyaç duyulan boyutsuz sayılar hakkında da bilgi verildi. Reynold sayısı ve Darcy sayısı matematiksel modelleme bölümünde kullanılan boyutsuz sayılardır. Teori kısmının bir diğer önemli kısmı ise gözenekli ortam akışını tanımlayan modeli belirlemektir. Akış modellerini tanımlayan denklemler ilk olarak deneysel çalışma sonucu elde edilen ve deneysel katsayılar içeren denklemlerdir. Gözenekli ortamda akışı tanımlayan ilk yasa Henry Darcy tarafından 1856 yılında geliştirilmiştir. Darcy yasası Reynold sayısının 1'den küçük olduğu, yani düşük hızlı, sıkıştırılamaz ve Newtonyen akışkanlar için geçerlidir. Darcy denklemi deneysel bir bağıntıdır ve Reynold sayısının 1den büyük olduğu, yani yüksek hızlı akışlarda Darcy denklemi geçersiz olmaya başlar. Çünkü Darcy denklemi akışın doğrusal olmayan etkisini modelleyemez. Ayrıca denklem viskoz etkileri de içermemektedir. 1947 yılında Brinkman tarafından Darcy denklemi tekrar düzenlenmiştir ve Darcy denkleminin içermediği viskoz etkiler Brinkman denkleminde sağlanmıştır. Diğer önemli denklem ise 1931 yılında Richard tarafından geliştirilmiştir.Üçüncü bölüm matematiksel modelleme kısmına ayrılmıştır. Giriş kısmında öncelikle bölümün içeriğinden, problemin detaylarından ve akışı tanımlamak için yapılan kabullerden bahsedilmiştir. Bu çalışmada iki boyutlu akış için sıkıştırılamaz, viskoz ve Newtonyen olduğu kabulü yapılmıştır. Problem gözenekli ortam ve akışkan ortam olmak üzere iki farklı ortamdan meydana gelmektedir. Girişin devamında gözenekli ortamı tanımlayan model seçimi yapılmıştır. Gözenekli ortamı tanımlayan denklem için Biot'un poroelastisite teorisinden faydalanılmıştır. Referans olarak kullanılan Deng ve Martinez'in çalışmasında ise Brinkman denklemi kullanılmıştır. Kabuller yapılıp akışkan ve gözenekli ortamları tanımlayan modeller belirlendikten sonra yüzeye dik yönde emme olan gözenekli akış probleminin matematiksel modellemesine geçilmiştir. Bu kısmı tamamlarken teori bölümünde verilmiş olan akışkan hareketini yöneten süreklilik ve momentum denklemleri ile boyutsuz sayılardan yararlanılmıştır. Problemi matematiksel olarak tanımladıktan sonra iki farklı bölüm için de denklemlerin boyutsuz halleri bulunmuştur. Gözenekli ortamın matematiksel ifadesi dördüncü dereceden lineer bir diferansiyel denklem iken akışkan ortamın matematiksel ifadesi dördüncü dereceden lineer bir diferansiyel denklem olarak bulunmuştur. Problemin matematiksel ifadesini bulduktan sonra diğer bir husus bulunan denklemleri çözebilmek için gereken yeter sayıdaki başlangıç ve sınır şartlarını belirlemektir. Bu çalışmada iki ortam için de bulunan denklemleri çözebilmek için toplamda 8 tane şart gerekmektedir. Problemin üst yüzeyinde iki hız bileşeninin de sıfıra eşit olması, alt yüzeyde sadece emme kaynaklı y yönünde hız bileşeninin oluşu, iki yüzeyin kesişim noktasında da hızların sürekliliği ve kayma gerilmesinin sürekliliği başlangıç ve sınır şartları olarak belirlenmiştir. Özellikle iki ortamın kesişiminde kullanılan sınır şartları farklı problemlere ve çalışmalara göre değişiklik göstermektedir ve sadece bu sınır şartları üzerine yapılan farklı çalışmalar mevcuttur.Dördüncü bölümde çalışmada kullanılan yarı analitik yöntemlerden biri olan diferansiyel kuadratur yöntemi anlatılmıştır. Öncelikle genel hatlarıyla yöntemin tarihçesi ve yapısı verilmiştir. DQM ilk defa Bellman tarafından 1971 yılında ortaya konmuştur. Devamında yöntemin içinde bulunan ağırlıklı katsayıları hesaplamak için geliştirilen farklı yaklaşımlar ve bu yaklaşımların birbirlerine göre avantaj ve dezavantajlarından bahsedilmiştir. Diferansiyel kuadratur yönteminde çözümün hassasiyeti hem düğüm noktası sayısına hem de düğüm noktalarının dağılımına bağlıdır. Lineer türden denklemlerin çözümünde eşit aralıklı düğüm noktası seçimi yeterliyken lineer olmayan denklemlerde durum değişmektedir. Çalışmada sınır şartlarına yaklaşıldığında sonuçlar kötüleştiği için sınırlara doğru daha sık adım aralıklarının kullanıldığı Chebyshev-Gauss-Lobatto nokta dağılımı tercih edilmiştir. Diferansiyel kuadratur yönteminin detayları verildikten sonra akışkan ortam ve gözenekli ortam denklemleri DQM ile çözülmüştür. Beşinci bölüm ise ağırlıklı artıklar yöntemlerinden moment yöntemine ayrılmıştır. Moment yöntemi 1947 yılında Yamada tarafından geliştirilmiştir ve 1951 yılında Fujita yöntemin gelişmesine katkıda bulunmuştur. 4 madde takip edilerek bütün ağırlıklı artıklar yöntemiyle sonuca ulaşmak mümkündür. Öncelikle bilinmeyen katsayılar ile problemi tanımlayacak olan bir polinom oluşturulur. İkinci adımda bu polinom başlangıç ve sınır şartları tarafından sağlanır ve dolayısı ile bu şartlara göre bilinmeyen sayısı düşürülür. Üçüncü adımda problemi tanımlayan artık fonksiyon belirlenir. Ve son adımda ağırlıklı artık fonksiyonları sıfıra eşitlenerek bilinmeyen tüm katsayılar bulunarak problem çözülmüş olur.Altıncı bölüm ise sonuç bölümüdür. Bu bölümde gözenekli ortam ve akışkan ortam için DQM ve MoM yöntemleri kullanılarak bulunan x ve y yönündeki hız bileşenlerinin grafikleri çizilmiş ve hata hesabı yapılmıştır. Son bölüm olan yedinci bölümde de sonuçlar değerlendirilip çalışma tamamlanmıştır.

In this thesis numerical modelling of uniform flow over a porous plane with suction in vertical direction to the plane by using semi analytical numerical methods were carried out. Semi analytical numerical methods are differential quadrature method and method of moments.In the first section purpose of the thesis and literature review were given. Then in the theory section, required theoretical information was given. Continuity equation, momentum equation and Biot's theory of poroelasticity were used as governing equations. Reynold and Darcy are dimensionless numbers. In the mathematical modelling section, firstly problem was defined. In this study the flow is 2 dimensional, incompressible, viscous and Newtonian. So density and viscosity are constant. By using equations in the theory section, dimensionless governing equations of the problem were found. After that employing the suggestion by Deng and Martinez, stream function was selected. Final form of the fluid layer equation and porous layer equation were found. Defining boundary conditions at the interface is the most important part of the mathematical modelling. In this study continuity of the velocity vector and shear stress were used as boundary conditions.In other sections, semi analytical numerical methods were explained and velocity distribution in the fluid layer and porous layer are found. In the result section, graphs were plotted and were interpreted in the section. Also approximate estimate of the error calculation was done. According to this, it is seen that error was reduced with increasing number of grid points.It is easily seen from the graphics that vertical velocity increases from top to the bottom because of the suction perpendicular to the surface. And at the bottom no horizontal velocity component exists. Thanks to this study alternative semi analytical solution to a two dimensional flow is derived. Without empirical constants meaningful solutions are obtained.