Generalized invariants and Hilbert ideal in modular invariant theory

Abstract

Hilbert ideali, pozitif dereceli değişmezler ile üretilen polinom halkasının biridealidir. Hilbert idealinin derecesi en fazla grubun mertebesi olan değişmezlerile üretilebileceği iddia edilmiştir, ve bu varsayım Hilbert ideali sanısı olarak bilinmektedir.Bu tezde başlıca iki problemden bahsedilecektir. Birinci problemde devirlibir grubun kısıtlanmış bir boyutta verilen modüler, parçalanamaz temsilleri içinHilbert ideali sanısını iki farklı yaklşım kullanarak kanıtlayacağız.Bu tezdeki diğer bir çalışma genelleştirilmiş değişmezler üzerinedir. Cisminkarakteristiği grubun mertebesini böldüğü durumla tanımlanan modüler değişmezteorisine yeni bir bakış olarak herhangi bir sonlu grup için genelleştirilmişdeğişmezleri tanıtacağız. Daha sonra, devirli grubun küçük boyutlu parçalanamaztemsilleri için genelleştirilmiş değişmezlerin yapısal özelliklerini açık bir şekildegöstereceğiz. Ayrıca Hilbert ideali sanısının bir analojisini devirli grubungenelleştirilmiş değişmezleri için kanıtlayacağız. Ana sonuçlardan biri olarak birsonlu grubun genelleştirilmiş değişmez modülü için yapısal teoremini vereceğiz.Son olarak, genelleştirilmiş değişmezlerin hangi koşulda alışılmış değişmezlerekarşılık geldiğini göstereceğiz.

The Hilbert ideal is the ideal of the polynomial ring generated by positivedegreeinvariants. It has been conjectured that the Hilbert ideal is generated bypolynomial invariants of degree at most the group order, which is known as theHilbert ideal conjecture.In this thesis, we mainly consider two problems. In the first problem, we provethat the conjecture holds for a modular indecomposable representation of a cyclicgroup in a restricted dimension giving two approaches for the open problem.The other study of this thesis is about generalized invariants. We introducethe definition of generalized invariants to arbitrary finite group as a new viewfor modular invariant theory, in which the characteristic of ground field dividesthe group order. Further, we determine explicitly the structural properties ofgeneralized invariants of a cyclic group for lower dimensional indecomposablerepresentations. Moreover, we show an analogy of Hilbert ideal conjecture forgeneralized invariants of these representations. As one of the main results, wegive a structural theorem for generalized invariant module of any finite group.Finally, we determine the condition under which generalized invariants coincidewith usual invariants.