Three dimensional simulation of fluid structure interactions for red blood cells

Abstract

Kan reolojisi, kanın akış özelliklerini ve kan içindeki elemanların deformasyon davranışlarını ele alır. Kanın reolojik özellikleri, dokuların beslenmesinde ve atıkların bu dokulardan uzaklaştırılmasında hayati rol oynamaktadır. Çünkü kan, besin maddeleri ve oksijen gibi gerekli maddeleri hücreye taşırken karbon dioksit, amonyak gibi metabolik atıkları hücreden uzaklaştırır.Buna ek olarak, kanın reolojik özellikleri bağışıklık sisteminde ve vücut sıcaklığının sabit tutulmasında büyük etkilere sahiptir. Kan esas olarak plazma (çoğunlukla suda çözünmüş çeşitli proteinler, glikoz, pıhtılaşma faktörleri, elektrolitler, hormonlar, atık ürünler, vb.), kırmızı kan hücreleri (RBCs), beyaz kan hücreleri (WBCs) ve trombositlerden oluşur. Bu çalışma esas olarak, kırmızı kan hücreleri üzerine yapılmıştır.Kırmızı kan hücreleri, biyolojik zarla çevrilmiş, neredeyse sıkıştırılamaz olmakla birlikte kesme ve bükülme deformasyonlarına karşı viskoelastik tepki veren, deforme olabilen, çekirdeksiz, sıvı dolu bir kapsül olarak düşünülebilir. Yetişkin sağlıklı bir insan vücudunda, kırmızı kan hücreleri genellikle 8 /mu m çaplı ve 2/mu m kalınlıklı esnek her iki yüzü içbükey diskler halinde şekil almaktadır. Kırmızı kan hücresinin zar yapısı bir çok katmanın bir araya gelmesiyle oluşur. Kalınlığı yaklaşık $5 nm$ olan dış lipit çift katmanının elastisitesi, zarın sertliğini etkileyen en önemli faktördür. Kırmızı hücre zar yapısı, dış strese maruz kaldığında kendi çapının yarısı veya daha küçük çapa sahip kılcal damarlardan geçmesine imkan tanıyabilecek kadar büyük deformasyonları kaldırabilecek kabiliyete sahiptir. Normal kırmızı kan hücresinin yüzey alanının hacime oranı, aynı hacimdeki bir küreye göre % 40 oranında daha yüksektir. Kırmızı kan hücrelerinin difüzyon yüzeyinin artması sayesinde, dokuların beslenmesinde ve atıkların bu dokulardan uzaklaştırılmasındaki hayati rolünde küreden daha verimli olmasını sağlar. Kan içindeki asılı kırmızı kan hücrelerinin hacim fraksiyonu olarak tanımlanan hematokrit, normal insan kanında % 40 ila % 45 arasında değişir. Bu oran cinsiyet, yaş ve spor yapma alışkanlıklarına bağlı olarak değişim göstermektedir.Diğer bütün kan elamanlarının yanı sıra kırmızı kan hücrelerin mekanik özellikleri, kanın reolojik davranışını büyük ölçüde etkiler ve Newtonyen olmayan etkileri beraberinde getirir.Öte yandan, beyaz kan hücreleri kanda hacimce sadece yaklaşık $1/600 $ oranında bulunurlar ve içindeki akışkanın viskozitesi, kanın viskozitesinden binlerce kez daha büyüktür. Bunun sonucu olarak, aynı akış altındaki kırmızı kan hücreleri kadar deforme olamazlar.Hipertansiyon, sıtma, orak hücre anemisi/hastalığı ve şeker hastalığı gibi bir takım hastalıklar, kırmızı kan hücrelerinin mekanik özelliklerinde değişiklikler oluşturur ve deforme edilebilirliğinin azalmasına neden olur. Kırmızı kan hücrelerinin deformabilitesindeki azalma, mikrovasküler akış direncinde belirgin bir artışa ve hücresel oksijen alış verişinde ve doku beslenmesinde ciddi derecede azalmaya, mikrosirkülasyonda da bozulmaya neden olur. Bu nedenle, kılcal damardaki kırmızı kan hücrelerini ve onu çevreleyen plazmanın hareket ve deformasyonunu anlamak ilgili hastalıklarla mücadelede değerli bilgiler sağlayabilir.Büyük damarlardaki kan genellikle sıkıştırılamaz, homojen ve Newtonyen olduğu düşünülür, çünkü kırmızı kan hücrelerinin akış esanasında ne kümelenme ne de deformasyona yetecek kadar zamana sahip olmadığı varsayılmaktadır. Öte yandan, kılcal damar içindeki kan akışı, viskozitesi hematokrit ve kayma oranıyla değişen, homojen ve Newtonyen olmayan bir sıvı olarak modellenmektedir. Çeşitli akış durumlarındaki kırmızı kan hücresi davranışlarını belirlemek için teorik, deneysel ve sayısal çalışmalar, uzun süredir ilgi gören, aktif bir araştırma alanıdır. Secomb, yağlama teorisine dayanan dar kılcal damarlarda kırmızı hücre hareketi için teorik bir model önermiştir ve deneysel verilerle iyi bir uyum içinde olan dar tüplerdeki görünür viskozite değerlerini tahmin etmiştir. Eggleton ve Popel ve Peskin tarafından önerilen daldırılmış sınır yöntemini (immersed boundary method) damar içi akışa adapte ederek, RBC'ler için zar-sıvı akış etkileşimlerinin üç boyutlu simülasyonlar sunmuştur.Liu et al., daldırılmış sonlu elemanlar yöntemini (IFEM) protein moleküllerinin dinamikleriyle birleştirerek kan hücrelerinin kümelenmesini ve bu davranışın kan reolojisi üzerindeki etkilerini araştırmıştır. Hücre zarının hem kesme hem de bükülme sertliğini hesaba katabilmek için, kırmızı kan hücresi üç boyutlu katı elemanlarla modellenmiştir.Daha sonraki bir çalışma da, Liu and Liu, üç boyutlu olarak, mikro ve kılcal damarlar içinde bulunan RBC'lerde meydana gelen büyük deformasyonu incelemek için, daldırılmış (immersed) sonlu elemanlar yöntemini çözüm ağsız (meshfree) yöntemlerle birleştirip doğrusal olmayan katı maddeler için uygulamışlardır. Yazarlar, RBC rouleau'nun farklı kesme oranlarında ayrıştırılmasını incelemeye çalışmışlardır.Sonlu zar kalınlığına sahip kırmızı kan hücrelerinde akış yapı etkileşimiyle iglili sınırlı sayıda çalışma mevcuttur. Oysa ki, akışkan yapı etkileşimi (FSI) literatürdeki çoklu fizik problemleri içinden sıklıkla başvurulan modelleme tekniklerinden birisidir. FSI, akışkan ile bu akışkanın çevrelediği veya içerisinde bulunduğu katı yapıyla olan etkileşimi konu alır. Kırmızı kan hücreleri de FSI'nın inceleme konuları arasında yer alabilir. Çünkü kan hücresinin zarı dışarıdan kan plazması ve içeriden hemoglobin olmak üzere iki akışkan yapıyla etkileşim içindedir.Bu çalışmada, problemin akışkan bölgesi için daimi olmayan; sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemi, Keyfi Lagrangian-Eulerian (ALE) formülasyonuna dayanan, kenar merkezli (side-centered) yapısal olmayan sonlu hacimler yöntemiyle ayrıklaştırılmıştır. Yapısal alanıysa, Lagrangian çerçevesinde Saint Venant-Kirchhoff malzeme modeli için klasik Galerkin sonlu element yöntemi ile ayrıklaştırılmaktadır. Klasik bölünmüş (patitioned) yaklaşımlar, Drichlet sınır koşuluyla çevrelenmiş akışkanın FSI iterasyonları sırasında akışkanın sıkıştırılamazlığını sağlayamamaktadır. Bahsi geçen bu problem kan hücresinin sınır koşullarını çevreleyen sistemlerde de görlülür. Bu nedenle, tam bağlaşık akışkan-yapı etkileşim algoritması gerekmektedir. Mevcut çalışmada, akışkan ve yapı alanının çözümü tam bağlaşık bir yaklaşıma dayanmaktadır. Bu sayede kılcal damar içerisindeki kırmızı kan hücresinin deformasyonunun sayısal simülasyonu için, akışkan ve yapı denklemleri tek bir denklem sistemi olacak şekilde şeklillendirilip, çözüm her adımda tam bağlaşık olarak elde edilmektedir. Mevcut yaklaşım aynı zamanda global ayrık geometrik karunum yasası (global discrete geometric conservation law (DGCL)) sağlamak için katı ve akışkan alanlar arasındaki ara yüzeyde uyumlu bir kinematik sınır koşulu sağlar. Bu sayede, kırmızı kan hücresi içindeki sıvı (hemoglobin) kütlesi simülasyon boyunca makine hassasiyetinde korunur. Çalışma kapsamında kan akışı için üç önemli fiziksel parametre simüle ve analiz edilecektir: (i) kılcal damar çapının etkisi, (ii) kırmızı hücre zar kalınlığının etkisi ve (iii) kırmızı hücre aralığının (hematokrit) etkisi. Kılcal damar çapının, sadece basınç gradyanı için değil, aynı zamanda kırmızı kan hücrelerinin deformasyonu için özellikle önemli olduğu bulunmuştur. Sayısal hesaplamalar, biconcave diskoid şeklinin, literatürdeki sonuçlara uygun olarak paraşüt benzeri bir şekle dönüştüğünü de göstermiştir. Buna ek olarak, küçük kılcal damarlardaki paraşüt benzeri hücre şekli, literatürde gözlemlenmemiş bir cupcake şekillinde bükülme (buckling) kararsızlığına maruz kaldığı gözlemlenmektedir. Kararsızlık, kırmızı kan hücresi etrafında düşük dalga boylu deformasyonlar oluşturur ve kırmızı hücre deformasyonu, aksisimetrik değil, üç boyutludur.Bu tezin geri kalanı şu sırayla düzenlenmiştir: Bölüm 1, motivasyon ve detaylı literatür taramasını kapsamaktadır. Bölüm 2, mevcut FSI algoritmasının yeni ve tam bağlaşık (monolitik) iteratif yöntemi ile birlikte kısa bir açıklama sunmaktadır. Bölüm 3'te, kırmızı kan hücresinin geometrisi ve fiziksel parametreleri verilmiştir. Ayrıca, problemin sınır koşulları bu bölümde verilmektedir. Bölüm 4 ve 5'de sırasıyla iki ve üç boyutlu analiz sonuçları yer almaktadır. Mevcut çalışmanın çıkarımlarına bölüm 6'da değinilmiştir.

Red blood cells, also called erythrocytes, can be defined as nucleus-free deformable liquid capsules enclosed by a biological membrane that is nearly incompressible and exhibits a viscoelastic response to shearing and bending deformation. The mechanical properties of red cells strongly influence the rheological behavior of blood and introduce non-Newtonian effects.A number of human diseases such as hypertension, malaria, sickle cell anemia and diabetes mellitus leads to change in the mechanical properties of red blood cells and reduction in deformability, which increase in microvascular flow resistance and a decrease in cellular oxygen delivery.A parallel fully-coupled (monolithic) fluid-structure interaction (FSI) algorithm has been applied to the deformation of red blood cells (RBCs) in capillaries, where cell deformability has significant effects on blood rheology.In the present FSI algorithm, fluid domain is discretized using the side-centered unstructured finite volume method based on Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation, meanwhile solid domain is discretized with the classical Galerkin finite element formulation for the Saint Venant-Kirchhoff material in a Lagrangian frame.In addition, the compatible kinematic boundary condition is enforced at the interface between the solid and fluid domains in order to satisfy the global discrete geometric conservation law (DGCL), which is important in order to conserve the mass of cytoplasmic fluid within the red cell at machine precision.In order to solve the resulting large-scale algebraic linear systems in a fully coupled (monolithic) manner, a new matrix factorization is introduced similar to that of the projection method and the parallel algebraic multigrid solver BoomerAMG is used for the scaled discrete Laplacian provided by the HYPRE library which we access through the PETSc library.Three important physical parameters for the blood flow are simulated and analyzed: (i) the effect of capillary diameter, (ii) the effect of red cell membrane thickness and (iii) the effect of red cell spacing (hematocrit).The capillary diameter is found out to be particularly important not only for the pressure gradient but also for the deformation of red blood cells. The numerical calculations also indicate a complex shape deformation in which biconcave discoid shape changes to a parachute-like shape which is in accord with the early results in the literature. Furthermore, the parachute-like cell shape in small capillaries undergoes a cupcake shaped buckling instability, which has not been observed in the literature.The instability forms thin rib-like features and the red cell deformation is not axisymmetric but three-dimensional.