Some weak convergence analysis results of the semi-implicit split-step methods for the non-linear stochastic differential equations

Abstract

Stokastik diferansiyel denklemler, bir diferansiyel denkleme genel olarak rassal bir sürecin eklenmesiyle oluşur. Matematik, fizik, finans, ekonomi, meteoroloji gibi birçok disiplinde kullanılmakta olan bu denklemler, finans piyasaları üzerine çalışmalar yapan Lous Bachelier (1900) ve İskoç botanikçi Robert tarafından görülen kolloidal parçacıkların düzensiz hareketinin matematiksel modelini sunan Albert Einstein'nın (1905) çalışmaları ile literatüre girmiştir. Stokastik diferansiyel denklemler, adi diferansiyel denklemler gibi lineer ve lineer olmayan denklemler olarak ikiye ayrılırken, son zamanlarda lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemler üzerine yapılan çalışmalar artış göstermektedir. Bu tez çalışmasında yapılacak olan analizlerde de lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemler ele alınmıştır.Lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin gerçek çözümlerinin bulunması genellikle oldukça zordur. Bu nedenle bu gibi denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunabilmesi için sayısal yöntemler geliştirilmiştir. Bu sayısal yöntemler literatürde açık (explicit), kapalı (implicit), yarı-kapalı (semi-implicit) olmak üzere üç başlık altında toplanmaktadır. Açık sayısal yöntemler olarak adlandırılan metotlar, sürüklenme katsayısı global lipschitz veya lineer büyüme şartı özelliklerini sağlayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunmasında oldukça elverişli ve kullanışlı metotlardır. Kapalı metotlar diye adlandırılan metotlar her ne kadar bu tarz denklemlerin sayısal çözümleri için de kullanılabilir olsalar da daha çok sürüklenme katsayısı lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunması için geliştirilmiştir. Çünkü açık metotların bu gibi katsayılı stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde oldukça yetersiz kaldığı yapılan çalışmalarla ispatlanmıştır. Öte yandan, kapalı metotlar genel olarak açık metotlara göre daha karmaşık yapıya sahiptirler. Bu yüzden her ne kadar lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin çözümleri için kullanışlı metotlar olsalar da, metotların yapısı gereği stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerini elde etmek açık metotlara göre daha çok zaman harcanmasını gerektirmektedirler. Bu da kapalı metotlar için bir dezavantaj olarak karşımıza çıkmaktadır.İşte tam da bu noktada, sürüklenme katsayısı lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini elde etmede açık metotlar kadar pratik, kapalı metotlar kadar da doğru yaklaşık sonuçların elde edilmesinde kullanılan yarı-kapalı metotlar karşımıza çıkmaktadır. Bu tezde yarı-kapalı metotlardan 2017 yılında literatüre B. İzgi ve C. Çetin tarafından kazandırılmış olan yarı-kapalı bölünmüş-adım (semi-implicit split-step) olarak isimlendirilen metot üzerine çalışılmıştır. Özellikle, lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerden literatürde oldukça fazla kullanım alanı olan Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denklemi kullanılarak yarı-kapalı bölünmüş-adım metotlarının zayıf yakınsaklık analizleri için bazı sonuçlar üzerine odaklanılmıştır. Bu hedef doğrultusunda giriş bölümünde:İlk olarak stokastik diferansiyel denklemlerin kısaca tarihsel sürecinden bahsedilmiştir.Bir sonraki adımda ise bir sıvıda yüzen veya asılı parçacıkların rastlantısal hareketi olarak tanımlanan Brown hareketinin matematiksel tanımı ve bazı özellikleri kısaca sunulmuştur. Daha sonra, stokastik diferansiyel denklemin motivasyonu ve genel formu verilmiştir. Ardından, literatürdeki stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümünü bulmak üzere geliştirilen metotlardan; Euler-Maruyama, Milstein, Tamed Euler, kesilmiş Euler (Truncated Euler), bölünmüş geri adım Euler (SSBE) ve yarı-kapalı bölünmüş adım (SISS) metotları bazı özellikleri ile birlikte tanıtılmıştır. Bu metotlardan kısaca bahsedecek olursak;Euler-Maruyama ve Milstein metotları açık sayısal yöntemlerdendir. Euler Maruyama yöntemi ismini Leonhard Euler ve Gisiro Maruyama'dan almıştır. Milstein yöntemi ise ilk olarak Grigori N. Milstein tarafından 1974 yılında tanıtılmıştır. Bu sayısal yöntemler, sürüklenme ve difüzyon katsayısı global lipschitz özelliğini sağlayan stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünü bulmada kullanılan oldukça kullanışlı yöntemlerdir. Aksi taktirde bu koşulları sağlamayan stokastik diferansiyel denklemlerinin yaklaşık çözümlerinin elde edilebilmesi için kullanılabilecek uygun yöntemler arasında yer almamaktadırlar. Ayrıca, Euler-Maruyama ve Milstein metotlarının zayıf yakınsaklık oranları sırasıyla 1 ve 2 olup, güçlü yakınsaklık oranları da sırasıyla 1/2 ve 1 dir.Diğer taraftan lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan sürüklenme katsayısına sahip stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin elde edilişinde kullanılan metotlardan; Tamed Euler ve kesilmiş Euler açık metotları, bölünmüş geri adım Euler kapalı metodu, yarı-kapalı bölünmüş adım veya Milstein tipi yarı-kapalı bölünmüş adım metotları kullanılabilirler.J.C. Mattingly, A.M. Stuart ve D.J. Higham tarafından sunulan bölünmüş geri adım Euler yöntemi; doğrusal olmayan monoton stokastik diferansiyel denklemlerin ergodiklik özelliklerini korur. Fakat, bölünmüş geri adım Euler yönteminde her adımda/yinelemede bir denklemin çözülmesi gerekmektedir. Bu nedenle, özellikle yüksek boyutlu doğrusal olmayan skaler/vektörel denklemleri içeren problemlerde hesaplama süresi maliyetli olan bir metottur.Tamed Euler ve kesilmiş Euler yöntemleri Euler yönteminin alternatif versiyonlarındandır. Tamed Euler metotu M. Hutzenthaler, A. Jentzen ve P.E. Kloeden tarafından sunulurken, Mao ve arkadaşları ise kesilmiş Euler yöntemini tanıtmışlardır. Bu yöntemler, stokastik diferansiyel denklemin sürüklenme terimine bazı yaklaşımlar uygulanarak elde edilmiştir. Ayrıca Tamed Euler ve kesilmiş Euler metotları yüksek boyutlu problemler için de uygundur. Her iki metotunda zayıf yakınsaklık ve güçlü yakınsaklık oranları sırasıyla 1 ve 1/2 dir. 2017 yılında, B. İzgi ve C. Çetin tarafından tanıtılan dört adet yarı-kapalı bölünmüş adım metodu (SISS1, SISS2, SISS3 ve SISS4) lineer ve lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan sürüklenme terimine bazı yaklaşımlar uygulanarak elde edilmiştir. Bölünmüş geri adım Euler metodunun aksine, yarı-kapalı bölünmüş adım metodu her adımda/yinelemede herhangi bir denklem çözülmesini gerektirmemektedir. Bu da zaman maliyeti açısından kazanç sağlamaktadır. Ayrıca yarı-kapalı bölünmüş adım yöntemi, yüksek boyutlu problemlere de kolaylıkla uygulanabilmektedir. Bu tarz problemlerin çözümlerinin elde edilmesinde hesaplama süresi açısından da ciddi bir avantaj sağlamaktadır.Metotların tanıtılmasının ardından, bu çalışmada sürüklenme katsayısı lokal lipschitz şartını sağlayan stokastik Ginzburg-Landau diferansiyel denkleminin genel formunun ve açık çözümünün tanıtımını gerçekleştirdik. Ardından giriş bölümünün son kısmında, yarı-kapalı bölünmüş adım (SISS1, SISS2, SISS3 ve SISS4) yöntemlerinin stokastik Ginzburg-Landau diferansiyel denklemine uygulanışları sunulmuştur. İkinci bölümde ise:İlk olarak Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denklemi ele alınarak SISS1 ve SISS3 metotlarının uygun koşullar altında birinci momentlerinin alt ve üst sınırları için teoremler sunulmuş olup, gerekli ispatlar yapılmıştır. Benzer şekilde Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denkleminin çözümünün birinci momentlerinin de alt ve üst sınırları ile ilgili teorem sunulup, ispatlanmıştır. MATLAB yardımıyla sunmuş olduğumuz teorik sonuçların ilgili sümülasyonları yapılarak, elde ettiğimiz sonuçlar ayrıntıları ile sunulmuştur. Ayrıca birinci momentler için elde edilmiş olan log-log grafiği ile metotların zayıf yakınsaklık oranının beklendiği gibi 1 olduğu nümerik olarak gösterilmiştir.İkinci olarak SISS1 ve SISS3 metotları ile Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denkleminin ve bu denklemin gerçek çözümünün yine bazı koşullar altında ikinci momentlerinin alt ve üst sınırlarıyla ilgili teoremler sunulmuştur. Bir önceki adımda yaptığımız işlemlere benzer olarak, bulunan teorik sonuçlar ile elde edilen simülasyon sonuçlarından yararlanılarak bazı grafikler oluşturulmuştur. Ayrıca ikinci momentler için elde edilmiş olan log-log grafiğiyle, SISS yöntemlerinin zayıf yakınsaklık oranının yine beklenildiği gibi 1 olduğu gösterilmiştir.Son olarak, SISS1 ve SISS3 metotları ile stokastik Ginzburg-Landau diferansiyel denkleminin birinci ve ikinci momentlerinin alt ve üst sınırlarından yararlanılarak; bu metotların yüksek momentleri için alt ve üst sınırlar sunulmuş ve böylece yaklaşımlarımız genelleştirilmiştir. Diğer adımlarda olduğu gibi Ginzburg-Landau diferansiyel denkleminin gerçek çözümünün sınırları için de bu genelleştirme işlemi gerçekleştirilmiştir. Ardından, metotların ve denklemin gerçek çözümünün örnek olarak ele alınan dokuzuncu momenti için simülasyonlar yapılmış ve bazı grafikler oluşturulmuş olup, zayıf yakınsaklık oranının neredeyse 1 olduğu sonucuna tekrardan ulaşılmıştır. Ayrıca elde edilen teorik sonuçların farklı momentleri için analizler yapılmış ve bu analiz sonuçları tablo yardımıyla sunulmuştur. Sonuç olarak, teorik gösterimi başka bir çalışmada ele alınmak üzere daha sonraya bırakılan yarı-kapalı geri-adım yönteminin zayıf yakınsaklık oranının 1 olduğunun gösterilmesinde, bu tezin bir çıktısı olarak bulunan sonuçların önemli bir rol oynayacağı öngörülmektedir.

The stochastic differential equation is defined as a differential equation including a stochastic or random process. The analytical solutions of the stochastic differential equations usually are not obtained. Therefore, the studies on the numerical solutions of the nonlinear stochastic differential equations have recently increased in the literature. There are different methods such as Euler-Maruyama, Milstein, Tamed Euler, truncated Euler, split-step backward Euler (SSBE), semi-implicit split-step (SISS) methods. The semi-implicit split-step methods among these methods have recently introduced to solve a class of nonlinear stochastic differential equations with non or locally lipschitz drift term.This thesis is intended for obtaining some theoretical and numerical results for the weak convergence analysis of the SISS methods since there is no enough study for the weak convergence analysis of the SISS methods according to our literature review yet. We especially focus on the SISS1 and SISS3, among others, based on the stochastic Ginzburg-Landau differential equation. First, we obtain the first moment boundaries of the numerical solutions of the stochastic Ginzburg-Landau differential equation with the SISS1 and SISS3 methods. We also find the first moment boundaries of the actual solution of the equation. Moreover, we observe that the lower and upper boundaries of the first moments for the numerical solutions of the equation behave almost same as the actual solution of the Ginzburg-Landau SDE by our repeated simulation results for the sufficiently small step size. Then, we exhibit the second moment boundaries of the numerical methods and the actual solution of the stochastic Ginzburg-Landau differential equation. In addition, we illustrate our results by performing simulations for the various model parameters by the graphs. These figures also confirm that the boundaries act the behavior of the solution for the equation.Finally, we extend our moment boundaries estimates for the pth moments of the SISS1 and SISS3 methods. Furthermore, we obtain pth moment boundaries of the actual solution of the Ginzburg-Landau SDE. Then, we obtain similar simulations results above for the pth moment boundaries by the repeated simulations. Additionally, we create a table with the different p values for the moment boundaries of the both actual and numerical solutions of the equation. Thus, the comparisons between the theoretical results and the numerical results for the SISS methods based on the Ginzburg-Landau SDE show that the theoretical results are consistent with the numerical results for all p according to our analysis results. Moreover, we discuss their empirical rates of weak convergence and show that the weak convergence rate of the SISS1 and SISS3 methods is almost 1 by the log-log graphs.