Eliptik integraller ve uygulamaları

Abstract

ntegral hesapta eliptik integraller, bir elips yay uzunlugunun hesaplanmasıproblemiyle ortaya çıkmıs ve ilk olarak Giulio Fagnano ve Leonhard Euler tarafındanincelenmistir.Modern tanımıyla bir eliptik integral, R iki degiskenli rasyonel bir fonksiyon Püçüncü ya da dördüncü dereceden katlı kökü olmayan bir polinomun karekökü ve cbir sabit olmak üzere=xcf (x) R(t, P(t))dtbiçiminde ifade edilebilen bir f fonksiyonudur.Genel olarak eliptik integraller elemanter fonksiyonlar cinsinden ifade edilemezler.Bu durumun istisnaları P polinomunun katlı kökünün olması ya da R(x,y)fonksiyonunun y degiskeninin tek kuvvetlerini içerdigi hallerdir. Buna karsınindirgeme formülleriyle her eliptik integral rasyonel fonksiyonların ve birinci, ikinci,üçüncü tür eliptik integraller olarak adlandırılan üç kanonik formun integralleribiçiminde ifade edilebilir.Bu formlar dısında eliptik integraller ?Legendre Formu? ve ?Carlson SimetrikFormu? adı verilen biçimlerde de ifade edilebilirler. Belirsiz integral hakkındadetaylı bilgi ise Schwarz-Christoffel dönüsümü incelenerek elde edilebilir.Bu çalısmanın ilk bölümünde eliptik integrallerin tanımı ve sekilleri verilmistir.kinci bölüm ise eliptik integraller ve eliptik fonksiyonlar ile ilgili problemlerinçözümlerini içermekte olup üçüncü bölümde çift periyotlu fonksiyonlar ve bunlarınözellikleri incelenmistir. Son bölümde ise elipste yalınkat fonksiyonlarla ilgili birçalısma yer almaktadır.

In integral calculus, elliptic integrals originally arose in connection with the problemof giving the arc length of an ellipse and were first studied by Giulio Fagnano andLeonhard Euler.In the modern definition, an elliptic integral is any function f which can be expressedin the form=xcf (x) R(t, P(t))dtwhere R is a rational function of its two arguments, P is the square root of apolynomial of degree 3 or 4 (a cubic or quartic) with no repeated roots, and c is aconstant.In general, elliptic integrals cannot be expressed in terms of elementary functions;exceptions to this are when P does have repeated roots, or when R(x,y) contains noodd powers of y. However, with appropriate reduction formula, every elliptic integralcan be brought into a form that involves integrals over rational functions, and thethree canonical forms (i.e. the elliptic integrals of the first, second and third kind).Besides the forms given below, the elliptic integrals may also be expressed inLegendre form and Carlson symmetric form. Additional insight into the theory of theindefinite integral may be gained through the study of the Schwarz-Christoffelmapping.The first part of this work contains of the definitions and form of elliptic integrals.The second part contains the solutions of problems on elliptic integrals and the thirdpart includes doubly-periodic functions and their properties. The last part of thepresent work is devoted to a study on univalent on univalent functions in the ellipse.