Numerical methods for partial differential equations

Abstract

Numerik metodlar fizik ve mühendislik uygulamalarında ortaya çıkan ve çözümü çok zor veya mümkün olmayan problemler için yaklaşım çözümleri üretmek için kullanılır. Bu çalışmada, biz parçalı diferansiyel denklemlere sayısal çözümler bulunmasına odaklandık. Kısmi türevli diferansiyel denklemler(PDE) birkaç bilinmeyen değişkene bağlı fonksiyonlar içeren problemleri formülize etmekte ve tabii ki çözümlerinde kullanılmaktadır. PDE, Isı dağılımı, elektrostatik, elektrodinamik, akışkan dinamiği gibi farklı fizik problemlerinde karşımıza çıkarlar.Bu çalışmada, PDE'i çözmek için sayısal hibrid metodlar gelişdirdik. İlk metot, uzay boyutunda polinom olmayan kübik splineların, zaman boyutunda ise sonlu farkların kullanılması üzerine inşa edilmiştir. İkinci metotda ise uzay boyutunda splineların yerine sonlu elamanlar Galerkin metoduyla birlikte kullanılmıştır. Sonuç olarak splineların daha yakınsak bir sonuç verdiği, buna karşılık sonlu fark metodunun hem daha ağır hesaplamalar gerektirdiği hem de daha iyi olmayan sonuçlar verdiği görülmüşdür. Farklı metotlar bizim metodumuzla sayısal örnekler verilerek kıyaslanmıştır. Sayısal çözümlerin hepsi MATLAB 7.0 kullanılarak hesaplanmışdır.

Numerical methods are used to find an approximation solution to problems in practice of science and engineering are often either diffucult or imppossible to solve analytically. In this study, we deal to find numerical solutions of some kinds of partial differential equations(PDE). PDE are used to formulate, and thus aid the solution of, problems involving functions of severable variables; such as the propagation of sound or heat, electrostatics, electrodynamics, fluid flow, and elasticity. Seemingly, distinct physical phenomena may have identical mathematical formulations, and thus be governed by the same underlying dynamic.Here, we develop numerical hybrid methods to solve PDE. The first method based on non-poylnomial cubic splines in the space direction and finite difference in the time direction. We have seen by using spline functions additional smoothness can be achieved. In the second method we use finite elements methods with Galerkin method instead of splines in the space direction but ıt gives a heavy calculation and not beter results. Several numerical techniques have been proposed fort he numerical solution of PDE. These tecniques are compared giving by numerical examples, and all numerical results are illustrated using MATLAB 7.0.