Klein yüzeylerin otomorfizm grupları

Abstract

oz Klein Yüzeylerin Otomorfizm Grupları Dilek DİLSİZO?LU Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı: Prof. Dr. Turgut BAŞKAN Balıkesir, 1997 Riemann, kompleks cebirsel eğrilerin kesirli otomorfızmlerinin oluşturduğu gruplarla, bu cebirsel eğrilerin belirlediği kompakt Riemann yüzeylerin kesirsel otomorfızmlerinin oluşturduğu grupların aynı olduğunu gösterdi. Daha sonra Macbeath ve Accola bu otomorfizm gruplarının yapılarını belirten bir kısım özellikler elde ettiler. Bu sonuçlar, otomorfizm grupları üzerindeki çalışmaların yoğunlaşmasına sebep oldu. Riemann yüzeyleri, üzerlerinde analitik yapılar bulunan, yönlendirilebilir kenarsız yüzeylerdir. Ancak yönlendirilemez ve kenarlı yüzeyler dikkate alındığında, bunların üzerine dianalitik yapılar koymak gerekmektedir. Bu yapıda analitik ve ters- analitik dönüşümler vardır. Bu yüzeylere Klein yüzeyler adı verilmiştir. Böylece Riemann yüzeyleri bu yüzeylerin özel hali olmuşlardır. Bu tezde Klein yüzeylerin otomorfizm gruptan incelendi. Genel teori verildikten sonra bu konudaki literatürü oluşturan çalışmalardan bir kısım önemli teoremler seçildi ve bunların ispatları anlaşılır biçimde verildi. Tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Klein yüzeyler ve bunların örtme yüzeyleri tanımlandı. Klein yüzeyler ve otomorfizm gruplarla ilgileri nedeniyle NEC-gruplar ve bölüm uzayları ile ilgili bir kısım temel sonuçlara yer verildi. İkinci bölümde otomorfizm gruplarının temel özellikleri belirtildi, özellikle Hunvitz grupları ile ilgili temel teoremler ayrıntılı biçimde yazıldı. Üçüncü bölümde PSL(2,q) grupları ve Hunvitz grupları arasındaki ilgiyi belirten bazı teoremlerin ispatlan ayrıntılı biçimde yazıldı. Anahtar Kelimeler: Klein yüzey, Riemann yüzeyi, örtme yüzeyi, NEC-grup, otomorfizm, cins, dallanma indeksi.

/A-'. »A A;- -J^ni '. '...» 'O-<-..'.» '. »... ','). v-v-^.vv-?-$ li.V.'*/; '.. '... H.*.&' / `.»..»*. ^:V>^ ABSTRACTX^« *.* Jjj^ ^«Köfr^ Automorphism Groups of Klein Surfaces Dilek DlLSÎZO?LU Balıkesir University, Institute of Science, Department of Mathematics Education M.Sc. Thesis / Supervisor: Prof. Dr. Turgut BAŞKAN Bahkesir-Turkey, 1997 Riemann showed that the groups of fractional automorphisms of complex algebraic curves are the same with the groups of fractional automorphisms of compact Riemann surfaces determined by these algebraic curves. Later on Macbeath and Accola obtained some properties determining the structure of these autumorphism groups. These results caused an increase on the search of these automorphism groups. Riemann surfaces are orientable surfaces without boundary with an analytical structure on them. When non-orientable surfaces /vith boundary are considered, it is necessary to put on them dianalytic structures. in this structure there exist analytical and anti-analytical transformations. These kind of surfaces are called Klein(ian) surfaces. it should be noted that Riemann surfaces are a special case of them. in this thesis automorphism groups of Klein surfaces are studied. After the general theory is given, some important theorems in the literatüre are recalled and explicit proofs are given. The thesis consists of three chapters. in the first chapter Klein surfaces and their covering surfaces are defmed. Also some fundamental results concerning NEC- groups and quotient spaces are given because of their close relation with Klein surfaces and automorphism groups. in the second chapter fundamental properties of automorphism groups are given. Particularly, main theorems related to Hunvitz groups are recalled in detail. in the third chapter, proofs of some theorems giving the relation between PSL(2,q) groups and Hunvitz groups are given. Finally some boundary problems for the order of automorphism groups in relation with ramifıcation index are given and proven. Key Words: Klein surface, Riemann surface, covering surface, NEC-group, automorphism, genus, ramifıcation index. ü