Lp uzaylarında polinom ve rasyonel fonksiyonlarla yaklaşım

Abstract

ÖZET Lp UZAYLARINDA POLİNOM VE RASYONEL FONKSİYONLARLA YAKLAŞIM Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı : Prof. Dr. Daniyal M. İsrafilov) Balıkesir, 2001 Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, önce ilerideki bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar, gösterimler ve teoremler verilmiş, daha sonra yaklaşımın incelendiği ağırlıklı Lp uzayları tanımlanmış ve bunların bazı özellikleri ispatlanmıştır. Bu bölümde ayrıca Cauchy singüler mtegralinin tanımı ve Cauchy integralinin limit değerleriyle ilgili önemli bir teoremin ifade ve ispatı verilmiştir. Bilindiği gibi yaklaşım teorisinde yaklaşımın mümkünlüğü dışında yaklaşan polinomlann daha pratik bir şekilde inşa edilebilen olması da temel problemlerden biridir. Bu yönde yapılan araştırmaların büyük bir kısmında yaklaşan polinomlar Faber polinomlan ve onların genelleşmeleri yardımıyla inşa edilmektedir. İkinci bölümde, bu genelleşmelerden biri olan p-Faber polinomlan incelenmiştir. Aynı zamanda, LP(F) ve Lp(r, co) uzaylarından olan fonksiyonların p-süreklilik modülleri ve p-Faber Laurent rasyonel fonksiyonları tanımlanmıştır. Üçüncü bölümde, önce LP(T) uzayından olan bir fonksiyona yaklaşan rasyonel fonksiyonlar inşa edilmiştir. Bu rasyonel fonksiyonlar verilen fonksiyonun Faber-Laurent kısmi toplanılan yardımıyla ifade edilmiştir. Yaklaşan rasyonel fonksiyonların Lp(r) uzayından olan bir fonksiyona yaklaşım hızı bu uzaylarda tanımlı olan p-süreklilik modülü yardımıyla değerlendirilmiştir. Daha sonra, bir feEp(G, o) fonksiyonu verildiğinde bu fonksiyonun Faber- Laurent serisine açılma yöntemi verilmiş, bu fonksiyon için ağırlıklı p-süreklilik modülü tanımlanmış ve inşa edilmiş Faber-Laurent kısmi toplamlar dizisinin verilen fonksiyona EP(G, co) normunda yaklaşım hızı ağırlıklı p-süreklilik modülüne göre değerlendirilmiştir. Bu bölümün son kısmında yukarıdaki yöntem genelleştirilerek ağırlıklı Lp(r, cû) uzaylannda rasyonel fonksiyonlarla yaklaşım hızı incelenmiştir. Ağırlık fonksiyonunun sağladığı koşullar literatürde daha önce bilinen Ap-Muckenhaupt koşullandır. Bu koşullar singüler integrallerin ağırlıklı Lebesgue uzaylannda sınırlı olması için gerekli ve yeterlidir. Aynı koşullar altında Lp(r, co) uzaylannda ağırlıklı p-süreklilik modülü tanımlanmış ve bu modüle göre yaklaşım hızı değerlendirilmiştir. ANAHTAR SÖZCÜKLER : Smirnov sımfı / ağırlık fonksiyonu / süreklilik modülü / p-Faber polinomu / p-Faber-Laurent rasyonel fonksiyonu / yaklaşımın derecesi.

ABSTRACT APPROXIMATION BY POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS IN Lp SPACES Balıkesir University, Institue of Science, Department of Mathematics (M. Sc. Thesis/ Supervisor: Prof. Dr. Daniyal M. Israfilov) Balıkesir, 2001 This work consists of three chapters. In the first chapter, at first, basic definitions, notations and theorems used in the following two chapters are given. Then the weighted Lp spaces in which the approximation is studied are defined and some properties of these are proved. In this chapter, also, the definition of Cauchy singular integral and the statement and proof of an important theorem on the limit values of Cauchy integral are given. As known, in the approximation theory not only the possibility of the approximation but also the construction of the approximant polynomials by a more practic way is one of the basic problems. In most parts of studies on this subject the approximant polynomials are constructed with the help of Faber polynomials and their generalizations. In the second chapter, p- Faber polynomials, one of these generalizations, are studied. Besides, p-modulus of continuity and p- Faber-Laurent rational functions of the functions belonging to Lp(r) and Lp(T, co) are defined. In the third chapter, at first, the rational functions approaching a function of Lp(r) are constructed. These rational functions are constructed with the help of the Faber Laurent partial sums of the given function. The degree of approximation of the approximant rational functions to a function of Lp(r) is estimated by p-modulus of continuity which is definite in these spaces. Then, for a function feEp(G, co), the method of expansion to the Faber- Laurent series of this function is given, the weighted p-modulus of continuity is defined, and the rate of approximation of the Faber-Laurent partial sums which have been constructed for the given function in the Ep(G, co) norm is estimated with respect to the weighted p-modulus of continuity. At the end of this chapter, as a generalization of the mentioned method, the rate of approximation with the rational functions in the weighted Lp(r, co) spaces is studied. The conditons that the weight functions satisfy are Ap-Muckenhaupt conditions known in the literature. These conditions are necessary and sufficient for the boundedness of the singular integrals in the weighted Lebesgue spaces. Under the same conditions in Lp(r, co) spaces the weighted p-modulus of continuity is defined and the rate of approximation with respect to this modulus is estimated. KEY WORDS: Class of Smirnov / weight function / modulus of continuity / p-Faber polynomial / p-Faber-Laurent rational function / degree of approximation. m