Gönderim sınıf grupları ve üreteçleri

Abstract

Bu çalışmada yüzey, yüzey homeomorfizmaları ve yüzey homeomorfizmalarının izotopi sınıfları incelenmiştir. Bu izotopi sınıfları, gönderim sınıf grubu adı altında bir grup oluşturmaktadır. Tez çalışmamızın asıl amacı gönderim sınıf grubunun üreteçleri üzerine yoğunlaşmaktır. Gönderim sınıf gruplarının en temel üreteçleri olan Dehn burguları incelenmiştir. Dehn burguları sonsuz mertebeye sahip olmakla beraber yüzeylerin gönderim sınıf gruplarını üretmekte önemli rol oynamaktadırlar. Dehn burgularından farklı üreteç kümeleri araştırılmıştır. Böylelikle yüzeylerin gönderim sınıf gruplarını üreten üreteçler içine mertebesi sonlu olan elemanlar da eklenmiştir. Daha sonra bu sonlu mertebeye sahip üreteçlerin mertebelerini ne kadar küçültebiliriz sorusu araştırılmıştır. Bunun üzerine mertebeleri iki olan üreteçler, yani involusyonlar, tarafından oluşan üreteç kümeleri irdelenmiştir. Kaç adet involusyonun gönderim sınıf gruplarını üreteceği sorusu sorgulanmış, bunun üzerine yapılan en son çalışmalar incelenmiştir.

In this study, surface, surface homeomorphisms and isotopy classses of surface homeomorphisms are examined. These isotopy classes constitute a group under the name of the `mapping class group`. The main purpose of this thesis is to focus on the generators of the mapping class group. Dehn twists, the most basic generators of the mapping class group, are examined. Dehn twists play an important role in generating the mapping class group of the surfaces. Different generator sets from Dehn twists are also investigated. On this purpose, the torsion (finite order) elements are added to the generating sets of the mapping class group of the surfaces. Then finding the minimum order generators are studied. On this, the generator set consisting of order two generators, namely involutions, are examined. `How many involutions can generate the mapping class group` is considered and the most recent studies to this problem are investigated.